世界近代三大数学难题之一----哥德巴赫猜想

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1、世界近代三大数学难题之一----哥德巴赫猜想哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被和它本身整除的数)之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。1742年6月，哥德巴赫写信将这个问题告诉给意大利大数学家欧拉，并请他帮助作出证明。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家

2、的注意。他们对一个个偶数开始进行验算，一直算到3.3亿，都表明猜想是正确的。但是对于更大的数目，猜想也应是对的，然而不能作出证明。欧拉一直到死也没有对此作出证明。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为(99)。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从(9十9)开始，逐步

3、减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。1924年，数学家拉德马哈尔证明了(7＋7)；1932年，数学家爱斯尔曼证明了(6＋6)；1938年，数学家布赫斯塔勃证明了(5十5)，1940年，他又证明了(4＋4)；1956年，数学家维诺格拉多夫证明了(3＋3)；1958年，我国数学家王元证明了(2十3)。随后，我国年轻的数学家陈景润也投入到对哥德巴赫猜想的研究之中，经过10年的刻苦钻研，终于在前人研究的基础上取得重大的突破，率先证明了(l十2)。至此，哥德巴赫

4、猜想只剩下最后一步(1＋1)了。陈景润的论文于1973年发表在中国科学院的《科学通报》第17期上，这一成果受到国际数学界的重视，从而使中国的数论研究跃居世界领先地位，陈景润的有关理论被称为“陈氏定理”。1996年3月下旬，当陈景润即将摘下数学王冠上的这颗明珠，“在距离哥德巴赫猜想(1＋1)的光辉顶峰只有飓尺之遥时，他却体力不支倒下去了……”在他身后，将会有更多的人去攀登这座高峰。几个未解的题。1、求(1/1)^3+（1/2）^3+(1/3)^3+(1/4)^3+(1/5)^3+…+（1/n）^3=?更一般地：

5、当k为奇数时求(1/1)^k+（1/2）^k+(1/3)^k+(1/4)^k+(1/5)^k+…+（1/n）^k=?欧拉已求出：(1/1)^2+（1/2）^2+(1/3)^2+(1/4)^2+(1/5)^2+…+（1/n）^2=（π^2）/6并且当k为偶数时的表达式。2、e+π的超越性此题为希尔伯特第7问题中的一个特例。已经证明了e^π的超越性，却至今未有人证明e+π的超越性。3、素数问题。证明：ζ(s)=1+(1/2)^s+(1/3)^s+(1/4)^s+(1/5)^s+…(s属于复数域)所定义的函数ζ(s

6、)的零点，除负整实数外，全都具有实部1/2。此即黎曼猜想。也就是希尔伯特第8问题。美国数学家用计算机算了ζ(s)函数前300万个零点确实符合猜想。希尔伯特认为黎曼猜想的解决能够使我们严格地去解决歌德巴赫猜想（任一偶数可以分解为两素数之和）和孪生素数猜想（存在无穷多相差为2的素数）。引申的问题是：素数的表达公式？素数的本质是什么？4、存在奇完全数吗？所谓完全数，就是等于其因子的和的数。前三个完全数是：6=1+2+328=1+2+4+7+14496=1+2+4+8+16+31+62+124+248目前已知的32个

7、完全数全部是偶数。1973年得到的结论是如果n为奇完全数，则：n>10^505、除了8=2^3,9=3^2外，再没有两个连续的整数可表为其他正整数的方幂了吗？这是卡塔兰猜想（1842）。1962年我国数学家柯召独立证明了不存在连续三个整数可表为其它正整数的方幂。1976年，荷兰数学家证明了大于某个数的任何两个正整数幂都不连续。因此只要检查小于这个数的任意正整数幂是否有连续的就行了。但是，由于这个数太大，有500多位，已超出计算机的计算范围。所以，这个猜想几乎是正确的，但是至今无人能够证实。6、任给一个正整数n

8、，如果n为偶数，就将它变为n/2,如果除后变为奇数，则将它乘3加1（即3n+1）。不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1吗？这角古猜想（1930）。人们通过大量的验算，从来没有发现反例，但没有人能证明。三希尔伯特23问题里尚未解决的问题。1、问题1连续统假设。全体正整数（被称为可数集）的基数和实数集合（被称为连续统）的基数c之间没有其它基数。1938年奥地利数学家哥德尔证明此假设在集合论公