泰勒公式的应用(1)

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1、淮北师范大学2013届学士学位论文泰勒公式的应用探讨学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向计算数学学生姓名X学号200911010xx指导教师姓名Y指导教师职称讲师2013年4月20日泰勒公式的应用探讨XXX（xxxxxxxx摘要泰勒公式是拉格朗日中值定理的推广，是沟通函数及其高阶导数的桥梁，也是应用高阶导数研究函数在区间上整体性态的重要工具.泰勒公式的特点是用多项式逼近函数，其中多项式的系数是通过函数在某些点的导数值来确定的.它可以处理求解过程中出现函数的二阶或二阶以上导数的一类习题，在理论上也很重要.本文通过一些实例探讨了泰勒公式在极限，不等式证明，行列式

2、计算等五个方面的应用与技巧.关键词：泰勒公式，极限，行列式，不等式DiscussionontheapplicationofTaylorformulaXXXXXXXXXTaylorformulaisthepromotionoftheLagrangemeanvaluetheoremandthebridgecommunicationfunctionanditshigherorderderivatives,anditisalsoanimportanttoolfortheapplicationofhigherorderderivativesofthefunctioninthe

3、intervalintegrityofthestate.Thecharacterizedofthetaylorformulaisafunctioninthecoefficientsofthepolynomialfunctionderivativevaluesatsomepointdetermined.Itcansolveaclassexercisetheabovesecondsecondderivativeofthefunctionprocess,itisalsoveryimportantintheory.Thefunctionoftaylorformulaonth

4、elimit,inequalityprove,thecalculationofdeterminantinfiveaspectsarediscussed.Keywords:Taylorformula,limit,determinant,Inequality，目录引言1一、泰勒公式简介1（一）泰勒公式的介绍1（二）泰勒公式的几种表达式2二、泰勒公式的应用4（一）泰勒公式在极限计算中的应用4（二）泰勒公式在不等式证明中的应用6(三)泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用8（四）泰勒公式在阶行列式计算中的应用11（五）泰勒公式在判断级数敛散性方面的应用14结论17参考文献1

5、7致谢18引言泰勒公式在数学分析中是一个非常重要的内容，微分学中最一般的情形就是泰勒公式，泰勒公式建立了函数的增量和自变量增量与一阶及高阶导数之间的关系，泰勒公式能够把一些复杂的函数近似地表示为较为简单的多项式函数，这种把简单变简单的功能使他成为分析和研究其他数学领域的有力工具.所以我们可以使用泰勒公式很容易的解决一些问题，如求极限，证明等式和不等式，判断函数的凹凸性，级数敛散性等.本文对泰勒公式在不等式，行列式，极限，函数凹凸性及拐点，级数的敛散性五个方面的应用进行论述.一、泰勒公式简介(一)泰勒公式的介绍定理设在含有的开区间内有直到阶导数，，为已知,现在需要寻求

6、一个次的代数多项式，使得，，是不是可以用来近似代替.设，由对求关于的一阶导数得：由对求关于的二阶导，由，这样就得到所求的代数多项式为：(1)18式(1)称为函数在处的阶泰勒多项式.因为只是的近似函数，所以二者之间肯定存在误差，我们不妨假设，我们称其为和的误差函数，显然.由柯西公式可得：===其中在与之间。而(2)其中在与之间。式(2)称为函数关于的阶泰勒公式.(二)泰勒公式的几种表达式1.带有麦克劳林余项的泰勒公式如果函数在点的某领域内具有阶导数，则对该领域内异于的点在和之间至少存在一个使：（介于与之间）。当时上式称为麦克劳林公式.2.带有柯西型余项的泰勒公式如果函

7、数在点的某领域具有阶导数，令，则对该领域内异于的任意点有：18。当时，又有3.带有积分型余项的泰勒公式如果函数在点的某领域内具有阶导数，令，则对该领域内异于的任意点，在和之间至少存在一个使得：其中就是泰勒公式的积分型余项.4.带有皮亚诺型余项的泰勒公式如果函数在点的领域内具有阶导数，则对此领域内的点有：（三）常见的几种函数表达式18二、泰勒公式的应用(一)泰勒公式在极限计算中的应用在求极限的过程中可以将其中的一项进行泰勒展开，将原问题转化为多项式的形式求极限.例1：求解：根据泰勒展开式.在本题中的指数最高为2，因此可以展开至2阶就可以了.原式===例2：求极限解