泰勒公式的一些应用

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1、泰勒公式的一些应用姓名：刘俊强学号：200640501213指导教师：马玉田摘要：泰勒公式在分析研究数学问题方面，有着重要的应用。本文讲述了泰勒公式在求不定式的极限,近似计算，级数和广义积分的敛散性，函数不等式的证明等几个方面的应用.关键词：泰勒公式极限近似计算敛散性不等式证明引言在初等函数中，多项式是最简单的函数。因为多项式函数的运算只有加、减、乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。那么一个函数只有什么条件才能用多项式函数近似代替

2、呢？这个多项式函数的各项系数与这个函数有什么关系呢？用多项式函数近似代替这个函数误差又怎么样呢？通过对数学分析的学习，我感觉到泰勒公式是微积分学中的重要内容，在函数值估测及近似计算，用多项式逼近函数，求函数的极限和定积分不等式、等式的证明等方面，泰勒公式是有用的工具.一泰勒公式泰勒公式：若函数在点存在n阶导数，则有证明：设（1）现在只要证明由关系式（1）知并易知因为存在，所以在点的某邻域内存在n-1阶导数.于是，当且时，允许接连使用洛必达法则n-1次，得到8故即证.泰勒公式是一元微积分的一个重要内容.不仅在理论上占有重要地位，在近似计算，函数的性质研究

3、等方面也有着重要的应用。泰勒公式在求不等式的极限，近似计算，级数和广义积分的敛散性，函数不等式的证明等问题的解决过程中，起到化繁为简的作用.下面试举几例，以作证明.二.泰勒公式的应用（一）求极限：例1：求的极限.解：因为分母为，故分子的泰勒展开式中取n=3.8注：此例也可以用洛必达法则求解，但由于分子，分母需要求三阶导数，且分子求导较繁琐.故不可取.（二）近似计算：例2求的近似值.分析：求该数值，在平常需要查表.若应用泰勒公式，能方便的求出其近似值.解：由可以得到此时误差为例3计算的值，使其误差不超过.解：由得当时（）故，当时，便有8从而略去而求得的近

4、似值为注：泰勒公式在求近似值的过程中，突破了查表和应用微分求近似值的局限.计算更加精确，可以满足在精密仪器设计过程中的计算需要.（三）讨论级数和广义积分的敛散性：例4讨论级数的敛散性.解：由比较判别法可知：若，则正项级数和正项级数同是收敛和发散.为了选取中的的值，可以用泰勒公式研究通项的阶.当时正项级数收敛.故收敛.即证.又如研究广义积分的敛散性.8解：是瑕点由比较判别法可以知道，则时，收敛；当时，发散.，因为，所以广义积分发散。注：从以上两例可知，级数与广义积分的联系比较密切，结论类似.（四）不等式的证明：例5设在区间内二阶可导，且，则其中均为正数；

5、。证明：记，则。由于在区间内二阶可导，故在点处一阶泰勒公式成立.，在与之间。因为，，所以8分别取，则有;;.以上各式分别乘以，得;;.将上面n个不等式相加得.因为，所以.即.从而.即证。注：利用泰勒公式证明函数不等式，主要有两步：（1）构造一个函数，选一个展开点，然后写出在处带有拉格朗日余项的泰勒公式；（2）根据所给的最高阶导数的大小，函数的界或者三角不等式对进行放缩.如：设函数在点附近二阶可导，由泰勒展式显然有结论：8（1）若，则有；（2）若，则有.（五）求高阶导数：例6写出的麦克劳林公式，并求与.解：因（1）用替换（1）中的，使得,由泰勒公式系数的

6、定义，在上述的麦克劳林公式中，与的系数分别为，.由此得到，.（六）求麦克劳林公式：例7求=在处的迈克劳林公式展开形式.解：首先作分解再转化成：8三．总结从上述实例中可以看出，泰勒公式在微积分的各个方面都有重要的应用.但在应用泰勒公式时需要注意:(一)一般将函数展开成为比最高阶导数低一阶即可；(二)恰当选择等式两边的与.参考文献：【1】华东师范大学数学系。数学分析（上）.北京：高等教育出版社，2001.【2】孙本旺，汪浩.数学分析中的典型例题和方法.长沙：湖南科学技术出版社，1992.【3】同济大学应用数学系.高等数学（上）.北京：高等教育出版社，200

7、2.【4】刘玉链傅沛仁，数学分析讲义，高等教育出版社2008【5】施光燕，高等数学讲稿[M].大连：大连理工大学出版社，2008【5】裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社2006【7】张励。泰勒公式的应用[J].天津轻工业学院学报，1999（2）：50-51【8】刘明忠.以专业为向导探索高职教学模式[J].襄樊职业技术学院学术学报，2005，TheApplicationofTaylorFormulaAbstract：Taylor'sformulaintheanalysisofmathematicalproblems,havei

8、mportantapplications.Thisarticledescribesinfini