数列求和与数列的极限专项训练

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1、数列求和与数列的极限专项训练【例题精选】：例1：等差数列200，，……，－100的后200项和是。分析：把问题改写成，求数列－100，……，200，的前200项的和，改写后的数列为首项是－100，公差是的等差数列，其200项的和为答案：。例2：求和：解：所求的和＋当当小结：通过将式子展开、整理，将问题转化为两个等比数列和一个常数列的和，在运用等比数列求和公式时要注意公比的条件。例3：求数列。分析：由于是等差数列，是等比数列，因此，可采用推导等比数列求和公式的方法（错项相减）求和。解：两式相减得于是例4

2、：数列是首项为3，公差为2的等差数列，前，求解：由已知例5：求下列极限解：（2）小结：本例（1）、（2）、（3）是分子，分母由多项式组成的分式的极限，这类问题往往与数列求和、求积相联系，一般应先对极限式子变形，再运用极限法则求极限，（4）是类型的极限，这类问题要特别注意极限存在的条件。例6：若，则实数的取值范围是。分析：将式子变形为，若极限值为，解得。答案：。例7：已知数列都是由正数组成的等比数列，公比分别为，其中，且。分析：这是1997年理科数学高考试题，主要考查等比数列概念、求和公式，数列极限的运

3、算等基础知识，考查文字运算能力和逻辑推理能力，在推理过程中要运用分类讨论的数学思想。分两种情况讨论：（1）（2）例8：一个公比绝对值小于1的无穷等比数列的所有项的和是9，各项平方和是27，则此数列的首项，公比。分析：设这个等比数列的首项为，公比为，且，则各项平方也组成等比数列，其首项是2，公比是2（）例9：在直角三角形ABC中，斜边AB=5，直角边AC=4，⊙O1是的内切圆，作⊙O2和AB、AC、及⊙O1都相切，再作⊙O3和AB、AC、及⊙O2都相切，如此无限继续下去，求所有这些圆面积的和。解：如图所

4、示，AB=5，AC=4，可求得⊙O的半径又设的面积组成的数列里以为首项为公比的等比数列，且。所有这些圆的面积和为数学归纳法及其应用专项训练【例题精选】：例1：用数学归纳法证明对于任意自然数，证明：（1）当=1时，左式=1＋1=2，右式=21，所以等式成立。（2）假设当时等式成立，即，那么，当＋1时，由（1）、（2），可知等式对任意成立。小结：使用数学归纳法证明的关键是第二步，假设时命题成立（可称为归纳假设），证明＋1时命题成立，第二步的实质是演绎推理。本题在使用数学归纳法证明的第二步时，要特别注意由到

5、＋1时，等式左端的变化，这时多了一个因式，把握这一点是完成用数学归纳法证明本题的关键。例2：是否存在自然数对任意自然数，都能被整除。若存在，求出的最大值，并证明结论；若不存在，说明理由。分析：本题是开放性题型，先求出……再归纳、猜想、证明。猜想，能被36整除，用数学归纳法证明如下：（1）当，能被36整除。（2）假设当能被36整除，那么，当时，由归纳假设，能被36整除，当为自然数时，为偶数，则能被36整除。所以＋能被36整除，这就是说当时命题成立。由（1）、（2）对任意都能被36整除。当取大于36的自然

6、数时，不能被整除，所以36为最大。例3：设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有的自然数，与2的等差中项等于与2的等比中项。（1）写出数列的前3项；（2）求数列的通项公式（写出推证过程）；（3）令分析：由题意再作归纳，证明。解：（1）当故该数列的前3项为2，6，10。（2）由（1）猜想数列。下面用数学归纳法证明数列的通项公式是。①当，又在（1）中已求出，所以上述结论成立。②假设时结论成立，即有，由题意有将代入上式，得。由题意有，代入，得整理得由，解得，所以这就是说，当时，上述结论成立。根据①、②上

7、述结论对任意成立。（3）令，则【专项训练】：（90分钟）一、选择题：1、设等差数列的公差是，如果它的前，那么A．B．C．D．2、在等差数列中，已知A．8B．9C．10D．113、设无穷等比的各项和是首项的3倍，则此数列的公比为A．B．C．D．4、已知是等比数列，且等于A．212B．216C．220D．2485、已知都成等差数列，则A．1B．2C．3D．46、等比数列的首项等于A．B．C．－2D．27、等差数列，A．1B．C．D．8、设数列的前项和，则A．B．－C．D．－9、的值是A．－11B．－13C

8、．－11D．－1310、某工厂产量第二年的增长率为，第三年的增长率为，第四年的增长率为，设这三年的平均增长率为，则A．B．C．D．二、填空题：11、等差数列，公差顺次组成等比数列，则。12、的取值范围是。13、若三边成等比数列，则公比的取值集合是。14、已知集合中各元素的和等于。15、已知数列的前的值是。三、解答题：16、在等比数列中，若，求项数的取值范围。17、已知是一次函数，成等比数列，求＋……＋以的式子的表示式。18、已知等比数列的首项为1，公比为