平面向量应用举例(3)

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1、一、选择题1．已知△ABC中，

2、

3、＝

4、

5、，则一定有(　　)A.⊥B.＝C．(＋)⊥(－)D.＋＝－[答案]　C[解析]　∵

6、

7、＝

8、

9、∴(＋)(－)＝

10、

11、2－

12、

13、2＝0，∴(＋)⊥(－)．2．已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为(　　)A．5NB．5NC．10ND．5N[答案]　B[解析]　如图所示，由向量加法的平行四边形法则知F合＝F1＋F2，四边形OABC是矩形，∵∠AOB＝60°，∴

14、F1

15、＝

16、F合

17、cos60°＝10×＝5(N)．3．已知a、b、c为△ABC的三个内角A、B、C的对边，向量m＝(，－1)，n＝(cos

18、A，sinA)．若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角A、B的大小分别为(　　)A.，B.，C.，D.，[答案]　C[解析]　解法1：∵m⊥n，∴cosA－sinA＝0，∴cos＝0，又∵0

19、－)2＝1上，则与夹角θ的最大值与最小值分别是(　　)A.，0B.，C.，D.，[答案]　C[解析]　如图，当直线OA与圆C相切时，与夹角最小或最大；由于C(，)∴∠BOC＝又由于

20、OC

21、＝2，r＝1.∴∠AOC＝；因此与夹角的最大、小值分别为，，故选C.5．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值为(　　)A．－1B．1C．2D．－1或2[答案]　D[解析]　k1＝－，向量(1－m,1)所在直线的斜率k＝，由题意得－＝.解得m＝2或－1.6．(2011·湖北理，8)已知向量a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b，若x，y满足不等式

22、x

23、＋

24、y

25、

26、≤1，则z的取值范围为(　　)A．[－2,2]B．[－2,3]C．[－3,2]D．[－3,3][答案]　D[解析]　本题考查向量垂直的充要条件及线性规划问题的求解．∵a⊥b，∴a·b＝0，即(x＋z,3)·(2，y－z)＝0，∴z＝2x＋3y不等式

27、x

28、＋

29、y

30、≤1表示如图所示平面区域．作直线l0：2x＋3y＝0，平移l0过点A(0,1)时z取最大值3.平移l0过点C(0，－1)时，z取最小值－3，∴z∈[－3,3]．二、填空题7．设F1，F2为双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且·＝0，则

31、

32、·

33、

34、的值等于________．[答案]　2[解析]　

35、

36、·

37、

38、＝[

39、

40、2＋

41、

42、2－

43、(

44、PF1

45、－

46、PF2

47、)2]＝[

48、F1F2

49、2－(

50、PF1

51、－

52、PF2

53、)2]＝[(2c)2－(2a)2]＝2b2＝2.8．(2012·金华十校联考)已知△ABO三顶点的坐标为A(1，0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，且满足·≤0，·≥0，则·的最小值为________．[答案]　3[解析]　由已知得·＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，且·＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，即x≤1，且y≥2，所以·＝(x，y)·(－1,2)＝－x＋2y≥－1＋4＝3.三、解答题9．已知a，b是非零向量，若a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b

54、垂直．试求a与b的夹角．[分析]　要求a，b的夹角θ，就需要利用公式a·b＝

55、a

56、

57、b

58、cosθ，因此我们利用题设中的垂直条件，用

59、a

60、，

61、b

62、等来表示a·b，这样就可以将它代入公式，即可求出θ的值．[解析]　解法一：由条件知所以由①－②得46a·b－23b2＝0，所以b2＝2a·b.将它代入②得a2＝2a·b.所以

63、a

64、＝

65、b

66、.所以由b2＝2a·b可知

67、b

68、2＝2

69、a

70、

71、b

72、cosθ，所以cosθ＝，所以θ＝60°.即所求的向量a与b的夹角为60°.解法二：由条件知：∴①×15＋②×8得

73、a

74、＝

75、b

76、，由①得7

77、a

78、2＋16

79、a

80、

81、b

82、cosθ－15

83、b

84、2＝0，∴7＋16cosθ－

85、15＝0，∴cosθ＝.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.即向量a与b的夹角为60°.[点评]　向量的数量积满足交换律a·b＝b·a，但不满足a·b＝

86、a

87、

88、b

89、，这与平时的数量乘积运算不同，同时要注意如果a·b＝b·c，但不能得出a＝c.一、选择题1．(2012·佛山期末)平面上有四个互异点A、B、C、D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状是(　　)A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形[答案]