函数与导数应用—教师

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1、2006北京十三中高三数学第二轮复习讲义--------函数专题五：函数与导数应用（2）——教师版——函数的单调性与最（极）值一、基本练习：1、函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数（C）A.（,）B.（π,2π）C.（,）D.（2π,3π）解析：y′=（xsinx+cosx）′=sinx+xcosx－sinx=xcosx,当x∈（,）时,恒有xcosx＞0.2、函数f（x）=ｅx＋ｅ－x在（０，＋∞）上的单调性是_____增函数_____.解析:∵f′（x）=ex－e－x=e－x（e2x－1）,∴当x∈（0,+∞）时，f′（x）＞0.∴f（x）在（0，+

2、∞）上是增函数.3、函数y=x2（x－3）的减区间是___（0，2）____解析：y′=3x2－6x，由y′<0，得00且b∈RC.a<0且b≠0D.a<0且b∈R解析：（x）=2ax，x<0且（x）<0，∴a>0且b∈R.答案：B5、已知f（x）=（x－1）2+2，g（x）=x2－1，则f［g（x）］（C）A.在（－2，0）上递增B.在（0，2）上递增C.在（－，0）上递增D.在（0，）上递增解析：F（x）=f［g（x）］=x4－4x2+6，（x）=4x3－8x，令

3、（x）>0，得－，∴F（x）在（－，0）上递增.6、下列各式正确的是A.x－＞sinx（x＞0）B.sinx＜x（x＞0）C.x＞sinx（0＜x＜）D.以上各式都不对解析：令F（x）=x－sinx,则F′（x）=1－cosx＞0（当x＞0,x≠2nπ,n=1,2,…）.故F（x）在x＞0时单调递增.因此当x＞0时,有F（x）＞F（0）=0.答案：B7、（2005年北京东城区模拟题）如果函数y=f（x）的导函数的图象如下图所示,给出下列判断:62006北京十三中高三数学第二轮复习讲义--------函数①函数y=f（x）在区间（－3,－）内单调递增;②函数

4、y=f（x）在区间（－,3）内单调递减;③函数y=f（x）在区间（4,5）内单调递增;④当x=2时,函数y=f（x）有极小值;⑤当x=－时,函数y=f（x）有极大值.则上述判断中正确的是_____③________8、函数f（x）=x3－3bx+3b在（0，1）内有极小值，则___00，0<<1时，适合题意.9、已知f（x）=2x3－6x2+m（m为常数）在［－2，2］上有最大值3，那么此函数在［－2，2］上的最小值是___－37_____.解：（x）=6x（x－2），f（x）在（－2，0）上为增函数，在（0，2）上为减函

5、数的，x=0时，f（x）=m最大.∴m=3，f（－2）=－37，f（2）=－5.10、函数y=x3+ax2+bx+27在x=－1处有极大值，在x=3处有极小值，则a+b=_－12_.解析：y′=3x2+2ax+b，－1、3是3x2+2ax+b=0的两根，∴a=－3，b=－9.二、典型例题：例题1：已知a∈R，求函数f（x）=x2eax的单调区间.解:f′（x）=2xeax+ax2eax=（2x+ax2）eax.①当a=0时，若x＜0，则f′（x）＜0，若x＞0,则f′（x）＞0.所以当a=0时，函数f（x）在区间（－∞,0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.②当

6、a＞0时，由2x+ax2＞0，解得x＜－或x＞0;由2x+ax2＜0,得－＜x＜0.所以当a＞0时，函数f（x）在区间（－∞，－）内为增函数，在区间（－,0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.62006北京十三中高三数学第二轮复习讲义--------函数③当a＜0时，由2x+ax2＞0，得0＜x＜－.由2x+ax2＜0，得x＜0或x＞－.所以当a＜0时，函数f（x）在区间（－∞,0）内为减函数，在区间（0，－）内为增函数，在区间（－,+∞）内为减函数.例题2：已知函数f（x）=2ax－x3，a>0，若f（x）在x∈（0，1］上是增函数，求a的取值范围.解：（x）

7、=2a－3x2在（0，1]上恒为正，∴2a>3x2，即a>x2.∵x∈（0，1]，∴x2∈（0，].∴a>.当a=时也成立.∴a≥.例题3：（2004年全国Ⅱ，文21）若函数f（x）=x3－ax2+（a－1）x+1在区间（1,4）内为减函数，在区间（6，＋∞）上为增函数，试求实数a的取值范围.解:函数f（x）的导数f′（x）=x2－ax+a－1.令f′（x）=0,解得x=1或x=a－1.当a－1≤1，即a≤2时，函数f（x）在（1,+∞）上为增函数，不合题意.当a－1＞1,即a＞2时，函数f（x）在（－∞,1）上为增函数，在（1,a－1）