函数与导数的应用

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1、函数与导数的应用★21.已知函数（1）当时，试判断函数的单调性；Ks5u（2）当时，对于任意的，恒有，求的最大值．21．解：（1）当时，，，故在区间，上单调递增，在上单调递减；当时，，，故在区间，上单调递增，在上单调递减；Ks5u当时，恒有，当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在区间上单调递增当时，在，上单调递增，在上单调递减；（2）解法一：设函数，即在上恒成立。即为的最小值。。故在区间上单调递减，在区间单调递增。故，解法二：即与点连线斜率的最小值在时取到。设则，即，又，故★已知:函数f(x)=a+(a>1)（1）证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数

2、；（2）证明方程f(x)=0没有负根．)证明：(1)设-10∴a-a<0<0∴f(x1)-f(x2)<0即f(x1)0故a≠-1（10）若-12而a

3、x2∈R＋，若g(x1)0令f′(x)>0⇒xe＋∴f(x)在(－∞，e－)和(e＋，＋∞)递增令f′(x)<0⇒e－0时，f(x)min＝m－e2∴∀x1，x2∈R＋，g

4、(x1)e2＋.圆锥曲线●＠22如图，过点作抛物线的切线，切点A在第二象限.(Ⅰ)求切点A的纵坐标;(Ⅱ)若离心率为的椭圆恰好经过切点A，设切线交椭圆的另一点为B，记切线，OA，OB的斜率分别为，求椭圆方程．22.解：(Ⅰ)设切点，且，由切线的斜率为，得的方程为，又点在上，，即点的纵坐标．(Ⅱ)由(Ⅰ)得，切线斜率，设，切线方程为，由，得，所以椭圆方程为，且过，由，∴将，代入得：，所以，∴椭圆方程为．●＠例题1如图，在直角梯形ABCD中，O为AB的中点，∥,椭圆以A，B为两焦点且经过D点（1）求

5、椭圆的方程（2）若点E满足,问是否存在直线与椭圆交于M，N两点，且,若存在,求直线的斜率的取值范围；若不存在，请说明理由.●＠例题2已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线与椭圆C相交于两点A，B（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.●＠已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点A(1，)，且离心率e＝.(1)求椭圆C的方程；(2)过点B(－1,0)能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O？

6、若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．●＠已知抛物线W：y＝ax2经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同的直线l1，l2.(1)求抛物线W的方程及其准线方程；(2)设直线l1，l2分别交抛物线W于B，C两点(均不与A重合)若以线段BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程．解：(1)由于点A(2,1)在抛物线W：y＝ax2上，所以1＝4a，即a＝.故所求抛物线W的方程为y＝x2，其准线方程为y＝－1.(2)不妨设直线AB的方程为y－1＝k(x－2)(k>0)，由，得x2－4kx＋8k－4＝0，解得x＝2或x＝4k－2，所以点B的坐标为(4k

7、－2,4k2－4k＋1)，易知直线BC的斜率为－k，故同理可得点C的坐标为(－4k－2,4k2＋4k＋1)，所以

8、BC

9、＝＝＝8k，线段BC的中点坐标为(－2,4k2＋1)，因为以BC为直径的圆与准线y＝－1相切，所以4k2＋1－(－1)＝4k，由于k>0，解得k＝.此时，点B的坐标为(2－2,3－2)，点C的坐标为(－2－2,3＋2)．故直线BC的斜率为＝－1，所以，直线BC的方程为y－(3－2)＝－[x－(2－2)]，即x＋y－1＝0.●＠已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点A(1，)，且离心率e＝.(1)求椭圆C的方程；(2)过点B(－1,0)能否作出直线

10、l，使l与