大工13秋《应用统计》辅导资料

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1、大连理工大学网络教育学院应用统计辅导资料二主题：准备知识学习时间：2013年10月9日－10月13日内容：求定积分是概率统计的常用基本知识，尤其是求有关连续型随机变量的问题，因此一定要掌握其解题过程与计算方法。其内容归纳总结如下：三、定积分1、定积分的概念设函数在[a,b]上有界,用分点把[a,b]分成n个小区间：，其长度为，在每个小区间上任取一点，作乘积并求和,，记。如果当l®0时,上述和式的极限存在,且极限值与区间[a,b]的分法和的取法无关,则称这个极限为函数在区间[a,b]上的定积分,记作。即（需要理解概念）其中叫做被积函数,叫做被积表达式,叫做积分变量,叫做积分下限

2、,叫做积分上限,[a,b]叫做积分区间。说明：(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的记法无关，即。第5页共5页大连理工大学网络教育学院(2)和通常称为的积分和。(3)如果函数在[a,b]上的定积分存在,我们就说在区间[a,b]上可积。(4)规定，。2、定积分的性质（需要理解方法）性质1性质2性质3（定积分对区间的可加性）性质4性质5如果在区间[a,b]上，则(a

3、b]上连续,则在积分区间[a,b]上至少存在一个点,使成立第5页共5页大连理工大学网络教育学院典型例题：利用定积分的几何意义说明等式解：表示由直线轴及直线所围成的面积,显然面积为1。3、定积分与原函数的关系一、变上限的定积分及其导数设函数在区间上连续,，则定积分一定存在，当在[a,b]上变动时，它构成了一个的函数，称为的变上限积分函数，记作，即（要求理解概念）定理1如果函数在区间[a,b]上连续,则变上限积分函数F(x)在[a,b]上具有导数,且导数为定理2如果函数在区间[a,b]上连续,则变上限积分函数就是在[a,b]上的一个原函数典型例题：例1、例2、二、牛顿—莱布尼茨公

4、式定理3如果函数是连续函数在区间[a,b]上的一个原函数,则。第5页共5页大连理工大学网络教育学院此公式称为牛顿—莱布尼茨公式,也称为微积分基本公式。（要求熟练掌握公式）典型例题：例1、例2、4、定积分的换元法与分部积分法一、定积分的换元法定理设函数在区间[a,b]上连续,函数满足条件：(1)(2)在[a,b](或[b,a])上具有连续导数,且其值域不越出[a,b]，则有这个公式叫做定积分的换元公式。（要求熟练掌握计算方法）典型例题：例、设，求的值解：解法Ⅰ令解法Ⅱ使用凑微分公式二、定积分的分部积分法设函数在区间[a,b]上具有连续导数，由得，等式两端在区间[a,b]上积分得

5、第5页共5页大连理工大学网络教育学院或这就是定积分的分部积分公式。（要求熟练掌握计算方法）分部积分过程：典型例题：例、计算解：第5页共5页