备战2018年高考数学 纠错笔记系列 专题09 直线与方程 理

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1、专题09直线与方程易错点1忽略90°倾斜角的特殊情形求经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．【错解】由斜率公式可得直线AB的斜率k==.①当m>1时，k=>0，所以直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°；②当m<1时，k=<0，所以直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.【错因分析】当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象进行分类讨论，然后对每一类分别研究，得出每一类结果，最终解决整个问题．本题的讨论分两个层次：第一个层次是讨论斜率是否存在；第二个层次是讨论斜率

2、的正、负．也可以分为m=1，m>1，m<1三种情况进行讨论．【参考答案】见试题解析.1．由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围时要利用正切函数y=tanx的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限制.2．求解直线的倾斜角与斜率问题时要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数y=tanx的单调性求斜率k的范围．3．直线的倾斜角与斜率的关系（1）任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率．比如直线的倾斜角为，但斜率不存在．（2）直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：α0°0°<α

3、<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<01．若直线l过点M(−2，m)，N(m，4)两点，则直线l的斜率为________.【答案】不存在或易错点2忽略斜率不存在的特殊情形已知直线l1经过点A(3，a)，B(a−2，3)，直线l2经过点C(2，3)，D(−1，a−2)，若l1⊥l2，求a的值．【错解】由l1⊥l2⇔，又k1=，k2=，所以·=−1，解得a=0.【错因分析】只有在两条直线斜率都存在的情况下，才有l1⊥l2⇔，还有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在的情况也要考虑．【试题解析】由题意知l2的

4、斜率一定存在，则l2的斜率可能为0，下面对a进行讨论．当时，a=5，此时k1不存在，所以两直线垂直．当时，由，得a=0.所以a的值为0或5.【参考答案】0或51．直线的斜率是否存在是解直线问题首先要考虑的问题，以防漏解．2．斜率公式（1）若直线l的倾斜角90°，则斜率．（2）若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k=．3．求直线方程的方法（1）直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中的系数，写出直线方程；（2）待定系数法：先根据已知条件恰当设出直线的方程，再根据已

5、知条件构造关于待定系数的方程(组)解得系数，最后代入设出的直线方程．4．求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax+By+C=0，且A≥0.5．已知三点若直线的斜率相同，则三点共线.因此三点共线问题可以转化为斜率相等问题，用于求证三点共线或由三点共线求参数.2．已知直线l过点A(1，2)，且原点到直线l的距离为1，求直线l的方程．【答案】x=1或3x−4y＋5=0.当用待定系数法确定直线的斜率时，一定要对斜率是否存在进行讨论，否则容易犯解析不全的错误．比如本题常出现下列错误：由题意设l的方程为y−2=

6、k(x−1)，即kx−y−k＋2=0.因为原点到直线l的距离为1，所以=1，解得k=.所以所求直线l的方程为y−2=(x−1)，即3x−4y＋5=0.符合题意的直线有两条，而上面忽略了斜率不存在的情况，从而只得到了一条直线．易错点3忽视两条直线平行的条件当a为何值时，直线：y=−x＋2a与直线：平行？【错解】由题意，得=−1，∴a=±1.【错因分析】该解法只注意到两直线平行时斜率相等，而忽视了斜率相等的两直线还可能重合．【试题解析】∵，∴=−1且2a≠2，解得a=−1.【方法点睛】要解决两直线平行的问题，一定要注意检验，

7、看看两直线是否重合．【参考答案】a=−1.1．两直线的位置关系问题中注意重合与平行的区别．2．由两直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解.3．两条直线的位置关系斜截式一般式与相交与垂直与平行且或与重合且（1）当两条直线平行时，不要忘记它们的斜率不存在时的情况；（2）当两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．3．直线的斜率与直线的斜率相同，则m

8、等于A．2或3B．2C．3D．−3【答案】C直线的一般式方程Ax＋By＋C=0中，A与B满足的条件是A与B不能同时为0，即.当A=B=0时，方程变为C=0，不表示任何图形．本题在求解时易出现下列错误：直线l1的斜率为，直线l2的斜率为1，则=1，即2m2−5m＋2=m2−4，m2−5m＋6=0，解得m=2或3.故选A