备战2018年高考数学 纠错笔记系列 专题07 不等式 理

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1、专题07不等式易错点1忽视不等式隐含条件致误设，若1≤≤2,2≤≤4，则的取值范围是________．【错解】由得，①＋②得：，②−①得：.由此得4≤=4a−2b≤11，所以的取值范围是[4,11]．【错因分析】错误的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而导致了的范围扩大．【试题解析】解法一：设=m＋n(m、n为待定系数)，则4a−2b=m(a−b)＋n(a＋b)，即4a−2b=(m＋n)a＋(n−m)b，于是得，解得.∴=3＋．又∵1≤≤2,2≤≤4，∴5≤3＋≤10，即5≤≤10.解法二：由，得，∴=4a−2b=3＋．又∵1≤≤2,2≤≤

2、4，∴5≤3＋≤10，即5≤≤10.解法三：由题意，得，确定的平面区域如图中阴影部分所示.当=4a−2b过点时，取得最小值；当=4a−2b过点B(3,1)时，取得最大值4×3−2×1=10，∴5≤≤10.21【答案】（1）此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围；（2）求范围问题如果多次利用不等式的性质有可能扩大变量取值范围．1．已知－2＜a＋b≤5，－1≤a－b≤4，则5a－b的取值范围为_____________．【答案】易错点2忽略不等式性质成立的条件给出下列命题：①若,

3、则；②若，则；③若且,则；④若,则.其中正确命题的序号是.【错解】①,又,则，故①正确；②当时，,故②不正确；③正确；④由知,∴，故,故④21不正确.故填①③.【错因分析】①③忽略了不等式性质成立的条件；④中的推论显然不正确.【试题解析】①当ab<0时，不成立，故①不正确；②当c<0时，a>b不成立,故②不正确；③当a=1,b=−2,k=2时，命题不成立，故③不正确；④由a>b>0−a<−b<00

4、中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的．如a≤b，bb⇒ac2>bc2；若无c≠0这个条件，a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．(3)“a>b>0⇒an>bn(n∈N*，n>1)”成立的条件是“n为大于1的自然数，a>b>0”，假如去掉“n为大于1的自然数”这个条件，取n＝－1，a＝3，b＝2，那么就会出现“3－1>2－1”的错误结论；假如去掉“b>0”这个条件，取a＝3，b＝－4，n＝2，那么就会出现“32>(－4)2

5、”的错误结论．2．已知6＜a＜16，3＜b＜4，c＝－1，求及的取值范围．错点3忽略对二次项系数的讨论导致错误21已知关于x的不等式mx2＋mx＋m－1＜0恒成立，则m的取值范围为______________．【错解】由于不等式mx2＋mx＋m－1＜0对一切实数x都成立，所以m＜0且Δ＝m2－4m(m－1)＜0，解得m＜0．故实数m的取值范围为(－∞，0)．【错因分析】由于本题中x2的系数含有参数，且当m＝0时不等式不是一元二次不等式，因此必须讨论m的值是否为0．而错解中直接默认不等式为一元二次不等式，从而采用判别式法处理导致漏解．【试题解析

6、】由于不等式mx2＋mx＋m－1＜0对一切实数x都成立，当m＝0时，－1＜0恒成立；当m≠0时，易知m＜0且Δ＝m2－4m(m－1)＜0，解得m＜0．综上，实数m的取值范围为(－∞，0]．【答案】(－∞，0]解一元二次不等式的一般步骤一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．二判：计算对应方程的判别式．三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．3．若不等式的解集为R，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】B21解不等式恒成立问题的技巧(1)对于一元二次不等

7、式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.易错点4解含参不等式时不能正确分类导致错误解不等式．【错解】原不等式可化为，即，等价于，即，因为，所以当，即或时，；当，即时，；当，即时，．综上，当或时，原不等式的解集为或；21当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或．【错因分析】显然当a＝0

8、时，原不等式是不成立的，故上述求解过程是错误的．实际上错解中的变形非同解变形，因为a－1的符号是不确定的，错解中仅考虑了当a－1＞0时的情况．【试题解析】显然当时，