高三数学第一轮复习 正余弦定理的综合应用学案 理

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1、正余弦定理的综合应用一．知识点梳理1.（1）正弦定理反应了三角形的边角关系，它可以用来解决两类解斜三角形的问题（2）.已知两角和一边，求其他边和角（3）.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（可进一步求出其他的边和角）2.余弦定理也反应了三角形的边角关系，它是勾股定理的进一步推广，它可以解决以下三类有关斜三角形问题(1).已知三边，求三个角(2)已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，此类问题需要讨论3.处理三角形内的三角函数问题应注意以下几点(1).在利用正弦定理理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对

2、角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解，两解，或者无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍(2)在三角形ABC中，有解的充要条件是cosA+cosB>0，利用该结论解选择题或填空题十分方便二．题型探究【探究一】：测量距离问题如图所示，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里．问乙

3、船每小时航行多少海里？【解析】解如图所示，连接A1B2，由已知A2B2＝10，A1A2＝30×＝10，∴A1A2＝A2B2，又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2是等边三角形，∴A1B2＝A1A2＝10.由已知，A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，在△A1B2B1中，由余弦定理，得B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2·cos45°＝202＋(10)2－2×20×10×＝200.∴B1B2＝10.因此，乙船速度的大小为×60＝30(海里/小时)．答乙船每小时航行30海里．【探

4、究二】：正余定理与三角形的面积问题如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝4，cos∠CAD＝且AD＝BD，求△ABC的面积．【解析】：解设CD＝x，则AD＝BD＝5－x，在△CAD中，由余弦定理可知cos∠CAD＝＝.解得x＝1.在△CAD中，由正弦定理可知＝，∴sinC＝·＝4＝，∴S△ABC＝AC·BC·sinC＝×4×5×＝.所以三角形ABC的面积为三、方法提升：1.在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角与角之间的关系或边与边之间的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形（如因式分解法，

5、配方法等）求解，注意等式两边的公因式不要约掉，要移向提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能2.在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点，一是要用到三角形的内角和及正，余弦定理；二是要用到三角变换，三角恒等变形的原则和方法，“化繁为简”“化异为同”是解决此类问题的突破口。四、反思感悟五、课时作业1．一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半个小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是()A．15海里/时B．5海里/时C．10海里/时D．

6、20海里/时2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值为()A.B.C.或D.或3.在△ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a＝3，b＝4，c＝6，则bccosA＋cacosB＋abcosC的值为()A．61B.C.D．1224．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝，cosA＝，则△ABC的面积S为()A.B.C.D．6二、填空题5．在△ABC中，－－＝________.6．如图，在山腰测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1000米至

7、S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为________米．7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S＝(b2＋c2－a2)，则A＝______.8．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若＋＝6cosC，则＋＝________.9．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于()A.B.C.D.10．在△ABC中，B＝60°，C＝45°，BC＝8，D是BC上的一点，且＝，则AD的长为()A．4(－1)B．4(＋1)C．4(3－)D．4(3＋)11

8、．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．12．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．13．在△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角．(1)求最大角的余弦值；