数学高考复习全解选修

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1、导数的概念与运算1．导数的概念：（1）设函数在及其附近有定义,当自变量x在x附近改变量为时，函数y相应地改变量，当时，比值叫做函数在区间（或的平均变化率，即=．（2）如果当时，平均变化率趋近于一个常数，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个常数叫做f（x）在点x处的导数，记作f＇（x）或y＇

2、．即f＇（x）==．说明：①函数f（x）在点x处可导，是指时，趋近于一个常数．否则，就说函数在点x处不可导，或说无导数．②是自变量x在x处的改变量，可正可负。但时，是函数值的改变量，可以是零．（3）由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步

3、骤：①求函数的增量=f（x+）－f（x）；②求平均变化率=；③取极限，得导数f’(x)=．2．导数的几何意义：（1）函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x））　　处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是．相应地，切线方程为y－y=（x－x）．注意：“过点的曲线的切线方程”与“在点处的切线方程”是不相同的，后者必为切点，前者A未必是切点.（2）求曲线过某点Ａ的切线方程的方法：①设切点,求出函数y=f(x)在点处的导数，即曲线y=f(x)在点处的切线的斜率,求得切线方程为；②

4、将Ａ点坐标代入求得的值，进而求出切线方程。3．常见函数的导数公式：（１）（C为常数），(k，b为常数)（２）（n为正整数），（３），（4），（5），4．两个函数的和、差、积、商的求导法则：法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)。即：(法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数。即：若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数。法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方。即：＇=（v0）．５．复合

5、函数的导数：设函数在点处有导数，函数在点的对应点处有导数，则复合函数在点x处也有导数，且或．复合函数的求导法则：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数　　复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．导数的应用1、利用导数判断函数的单调性：（1）设函数在某个开区间内可导，若总有，则在这个区间上为增函数；若总有，则在这个区间上为减函数。（2）求可导函数单调区间的一般步骤和方法：①确定函数的定义域区间；②求，令，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；③把函数的间断点（即包括的无定义点）的横坐标和上面

6、的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；④确定在各小开区间内的符号，根据的符号判定函数在每个相应小开区间内的增减性。注意：①为增函数（为减函数）.②在区间上是增函数≥在上恒成立；在区间上为减函数≤在上恒成立.2、利用导数求函数的极值：（1）极大值：已知函数，设是定义域内任意一点，如果对附近的所有点，都有，则称函数在点处取极大值.记作极大值，把称为函数的一个极大值点.（2）极小值：已知函数，设是定义域内任意一点，如果对附近的所有点，都有，则称函数在点处取极小值.记作极小值，把称为函数的一个极小值点.（3）极大值

7、与极小值统称为极值；极大值点与极小值点统称为极值点在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值（4）注意以下几点：①极值是一个局部概念由定义知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小的.并不意味着它在函数的整个的定义域内是最大或最小的.②函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.③极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值。④函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端

8、点.（5）当在点连续时，判别是极大值或极小值的方法:若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值.（6）求可导函数的极值的步骤:①确定函数的定义域区间，求导数；②求方程的根；③用函数的导数为的点，顺次将函数的定义域区间分成若干小开区间，并列成表格.检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么在这个根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要

9、考虑这些点是否是极值点.3、函数的最大（小）值：一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．（1）设是定义在区间上