文章)导数的几何意义在解题中的应用

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1、http://www.mathschina.com彰显数学魅力！演绎网站传奇！例1.已知函数f(x)=x3-3x2+ax,x∈R,且曲线y=f(x)的切线的斜率的最小值为-1.(1)求a的值；(2)求f(x)在x=1处的切线方程；(3)若直线l过原点，且与曲线y=f(x)相切，求直线l的斜率k的值．【思路点拨】首先由“斜率的最小值为-1”求出解析式，再根据切线方程的求法列方程，求出k的值．【解】(1)∵＝3(x-1)2+a-3∴切线斜率的最小值为(1)=a-3=-1，∴a=2,(2)∵(x)=3x2-6x+2，∴

2、曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为(1)＝-1，∴切线方程为y=-1×(x-1)+13-3×12+2×1，即y=-x+1.(3)∵y=x3-3x2+2x，∴=3x2-6x＋2．∴直线和曲线均过原点，当原点是切点时，切线斜率k==2,当原点不是切点时，设切点为P(x0,y0)，其中x0≠0,则切线的斜率k=．综上所述,k=2或．(1)一是该点的导数值等于切线的斜率；二是该点坐标满足已知曲线的方程．（2某点不在曲线上求过此点的切线问题时，先设出切点坐标，利用导数几何意义表示出切线方程，把已知点代入切线方程，得所

3、求方程．(3)不确定曲线上的点(x0,f(x0))是否为切点时，分(x0,f(x0))是切点和不是切点进行讨论．例2．已知函数f(x)=lnx,g(x)=x2+a(a为常数),直线与函数f(x)、g(x)的图象都相切,且与函数f(x)图象的切点的横坐标为1.求直线的方程及a的值.由直线与函数f(x)切点的横坐标为1,可利用导数求出函数f(x)在该点切线的斜率,利用点斜式求出直线的方程;因为直线与函数g(x)的图象相切,所以与g(x)有且只有一个公共点,此时可将直线代入g(x),通过Δ=0,求出a的值.【解】由f′

4、(x)

5、x=1=1,知kl=1,切点为(1,f(1)),即(1,0),所以直线的方程为y=x-1.直线与y=g(x)的图象相切,等价于方程组只有一解,即方程x2-x+(1+a)=0有两个学数学用专页第9页共9页版权所有少智报·数学专页http://www.mathschina.com彰显数学魅力！演绎网站传奇！相等的实根,∴Δ=1-4×(1+a)=0.∴a=-.合理构造函数方可尽情发挥导数解题功效一.抓住问题的实质，化简函数例1、已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值.（1）求的解析式；（2）是否存在

6、自然数，使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由。解：（1）（2）假设满足要求的实数存在，则，即有：，即有：此时,须构造函数画图分析：进而检验，知,所以存在实数使得在区间内有且只有两个不等的实数根。点评：本题关键是构造了函数，舍弃了原函数中分母问题得到了简化。二.抓住常规基本函数，利用函数草图分析问题：例2.已知函数的图像在点处的切线方程为设（1）求证：当时，恒成立；学数学用专页第9页共9页版权所有少智报·数学专页http://www.mathschina.com彰显数

7、学魅力！演绎网站传奇！（1）试讨论关于的方程根的个数。解证：（1）（2）方程从而因为所以方程可变为令，得：当时，在上为增函数；当时，在上为减函数；当时，又所以函数在同一坐标系的大致图像如图所示①当即时，方程无解；②当即时，方程一解；③当即时，方程有2个根。点评：一次函数，二次函数，指对数函数，幂函数，简单的分式根式函数，绝对值函数的图象力求清晰准确，一些综合性的问题基本上是这些函数的组合体，如果适当分解和调配就一定能找到问题解决的突破口，使问题简单化明确化。三.复合函数问题一定要坚持定义域优先的原则，抓住函数的复

8、合过程能够逐层分解。例3.已知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增。(1)求实数的值;(2)若关于的方程有3个不同的实数解，求实数的取值范围;(3)若函数的图像与坐标轴无交点，求实数的取值范围。解：（1）利用得：（2）因为得列表得学数学用专页第9页共9页版权所有少智报·数学专页http://www.mathschina.com彰显数学魅力！演绎网站传奇！因此有极大值极小值作出的示意图，如图:因为关于的方程有3个不同的实数解，令即关于的方程在上有3个不同的实数解，所以的图像与直线在上有3个不同的交点。而的图像与的

9、图像一致。即（3）函数的图像与坐标轴无交点，可以分以下2种情况：①当函数的图像与轴无交点时，则必须有无解，而函数的值域为所以解得②当函数的图像与轴无交点时，则必须有不存在，即或，有意义，所以，解得.③由函数存在，可知有解，解得，故实数的取值范围为点评：复合函数尤其是两次复合，一定要好好掌握，构造两种函数逐层分解研究，化繁为简，导数仍然是主要工具。聚焦导数中的逆向题一、逆用