中四丁班附加数学测验答案

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1、中四丁班附加數學測驗答案第三章數學歸納法姓名:____________()1.利用數學歸納法，證明對於所有正整數n，1x4+2x7+3x10+…+n(3n+1)=n(n+1)2設P(n)為命題“1x4+2x7+3x10+…+n(3n+1)=n(n+1)2”當n=1，左方=1[3(1)+1]=4右方=1[(1)+1]2=4左方=右方P(1)成立假設P(k)成立即1x4+2x7+3x10+…+k(3k+1)=k(k+1)2當n=k+1，左方=1x4+2x7+3x10+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1

2、]=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=k(k+1)2+(k+1)(3k+2)=(k+1)[k(k+1)+(3k+2)]=(k+1)(k2+4k+2)=(k+1)(k+2)2右方=(k+1)[(k+1)+1]2=(k+1)(k+2)2P(k+1)成立根據數學歸納法，對所有正整數n，P(n)都成立。2.(a)利用數學歸納法，證明對於所有正整數n，13+33+53+…+(2n–1)3=n2(2n2–1)(b)由此，或用其他方法，計算23+63+103+…+383。(a)設P(n)為命題“13+33+53

3、+…+(2n–1)3=n2(2n2–1)”當n=1，左方=[2(1)–1]3=1右方=(1)2[2(1)2–1]=1左方=右方P(1)成立假設P(k)成立即13+33+53+…+(2k–1)3=k2(2k2–1)當n=k+1，左方=13+33+53+…+(2k–1)3+[2(k+1)–1]3=k2(2k2–1)+(2k+1)3=2k4–k2+8k3+12k2+6k+1=2k4+8k3+11k2+6k+1=(k+1)2(2k2+4k+1)右方=(k+1)2[2(k+1)2–1]=(k+1)2(2k2+4k+1)P

4、(k+1)成立根據數學歸納法，對所有正整數n，P(n)都成立。(b)(i)13+33+53+…+193=(10)2[2(10)2–1]=19900(ii)23+63+103+…+383=23(13+33+53+…+193)=23(10)2[2(10)2–1]=1592001.利用數學歸納法，證明對於所有正整數n，設P(n)為命題“”當n=1，左方=右方=左方=右方P(1)成立假設P(k)成立即當n=k+1，左方=右方P(k+1)成立根據數學歸納法，對所有正整數n，P(n)都成立。1.利用數學歸納法，證明對於所有

5、正整數n，9n–4n能被5整除。設P(n)為命題“9n–4n能被5整除”當n=1，91–41=5，它能被5整除。P(1)成立假設P(k)成立即9k–4k=5M，M為整數。當n=k+1，9k+1–4k+1=9(9k)–4(4k)=9(9k–4k)+9(4k)–4(4k)=9(5M)+5(4k)=5(9M+4k)P(k+1)成立根據數學歸納法，對所有正整數n，P(n)都成立。2.利用數學歸納法，證明對於所有正整數n，7n+3n+8能被9整除。設P(n)為命題“7n+3n+8能被9整除”當n=1，71+3(1)+8=

6、18，它能被9整除。P(1)成立假設P(k)成立即7k+3k+8=9M，M為整數。當n=k+1，7k+1+3(k+1)+8=7(7k)+3k+3+8=7(7k+3k+8)–7(3k)–7(8)+3k+11=7(9M)–18k–45=9(7M–2k–5)P(k+1)成立根據數學歸納法，對所有正整數n，P(n)都成立。1.設Tn=93n–1，n是正整數。利用數學歸納法，證明對所有正整數n，設P(n)為命題“”當n=1，左方=T1=93(1)–1=81右方=3(1)[3(1)+1]=81左方=右方P(1)成立假設P(

7、k)成立即當n=k+1，P(k+1)成立根據數學歸納法，對所有正整數n，P(n)都成立。