解三角形应用举例学案

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1、第一章解三角形1.2应用举例一、【课标要求】1、会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法． 2、利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系． 3、解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等． 4、熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化。5、通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力． 二、【知识梳理】1.解斜三角形的常见类型及解法在三角形的6个元素中要已知三个(除三角外)才能求解，常见类型及其解法如表所示.已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，

2、B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c.在有解时只有一解两边和夹角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角.在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C.在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解，一解或无解2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度

3、问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.3.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①).(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等；(3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②).(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数.三、【基础学习】1、若在河岸选取相距km的C、D两点，测得∠BCA=45º，∠ACD=60º，∠CDB=30º，∠BDA=30º，则A、B两点间距离为_____

4、__2、海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛间的距离是四、【方法归纳】例1如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.分析　(1)分清已知条件和未知条件(待求).(2)将问题集中到一个三角形中，如△ABC和△BCD.(3)利用正弦

5、定理或余弦定理求解.解：　设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝10t海里，BD＝10t海里，在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝(－1)2＋22－2(－1)·2·cos120°＝6.∴BC＝海里.又∵＝，∴sin∠ABC＝＝＝，∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得＝，∴sin∠BCD＝＝＝.∴∠BCD＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶.又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，∴∠D＝30

6、°，∴BD＝BC，即10t＝.∴t＝小时≈15分钟.∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.总结升华：(1)由实际出发，构建数学模型是解应用题的基本思路.如果涉及三角形问题，我们可以把它抽象为解三角形问题，进行解答，之后再还原成实际问题，即利用上述模板答题.(2)本题的易错点是，不能将已知和待求量转化到同一个三角形中，无法运用正、余弦定理求解.例2某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高.分析在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，恰

7、当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解.注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识.解　如图所示，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40，此时∠DBF＝45°，过点B作BE⊥CD于E，则∠AEB＝30°，在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理，得＝，∴BD＝＝20.∠BDE＝180°－135°－30°＝15°.在Rt△BED中，BE＝DBsin15°＝20×＝10(－1).在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，∴AB＝BEtan30°＝(3－)(米).故所求的塔高为(3－)米.总结升华：解斜三角形应用题

8、的一般步骤为：第一步：分析——理解题意，分清已知与未知，画出示意图；第二步：建模