常微分方程期末考试试卷(1)

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1、常微分方程试题二一．填空题（共30分，9小题，10个空格，每格3分）。1、当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。2、________________称为齐次方程。4、若函数f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足利普希兹条件，则方程的解y=作为的函数在它的存在范围内是__________。5、若为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。6、方程组的_________________称之为的一个基本解组。7、若是常系数线性方

2、程组的基解矩阵，则expAt=____________。二、计算题（共6小题，每题10分）。1、求解方程：=2、解方程：(2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=03、讨论方程在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解4、求解常系数线性方程：5、试求方程组的一个基解矩阵，并计算三、证明题（共一题，满分10分）。试证：如果满足初始条件的解，那么常微分方程期末考试答案卷一、填空题。（30分）1、2、4、连续的5、w6、n个线性无关解7、二、计算题。（60分）1、解：(x-y+1)dx-(x++3)dy=0xdx-(ydx+xdy)+dx-dy-3dy=0即d-d(x

3、y)+dx--3dy=0所以2、解：，令z=x+y则所以–z+3ln

4、z+1

5、=x+，ln=x+z+即3、解：设f(x,y)=,则故在的任何区域上存在且连续，因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，显然，是通过点（0，0）的一个解；又由解得，

6、y

7、=所以，通过点（0，0）的一切解为及

8、y

9、=4、解：(1)齐次方程的通解为x=(2)不是特征根，故取代入方程比较系数得A=，B=-于是通解为x=+5、解：det()=所以，设对应的特征向量为由取所以，=三、证明题。（10分）证明：设的形式为=（1）（C为待定的常向量）则由初始条件得=又=所以，C==代入（1）得=即命题得证。