电容、部分电容与工作电容

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1、电容、部分电容与工作电容——兼答实验1的思考题2陈德智（1）电容两个导体之间存在电容。电容的因果关系是这样的：如果导体带电，则在空间产生电场；电场的分布使得两导体出现一定的电位差，其值U与导体带电量q成正比。电容C即定义为导体带电量q与电压U的比值。因此，电容是对电场的一种集中参数化的描述。只要电场的分布是确定的，两导体之间的电容也是确定的。任意两个导体，无论形态差异多大，都有电容存在。此外，需要说明一点，如果空间只有两个导体，则隐含着两导体带电量必然为和，以满足电荷守恒定律。当讨论多个导体时，各导体的电荷总量也必须满足。当系统中出现第三

2、个导体时，用部分电容描述导体两两之间的关联关系。为叙述方便，把原来的两个导体编号为1、2，把第三个导体编号为0。此时，导体1、2之间出现部分电容C12，对电路来说还有工作电容Cp。讨论三个电容值C、C12和Cp的数值关系是一个饶有趣味的话题。（2）工作电容图1工作电容首先考察工作电容Cp的含义。无疑，如果只有一对导体（编号1、2），将其接入电路中，那么工作电容Cp就等于电容C，即导体带电量q与电压U的比值：。设若保持两导体的带电量q不变，而在场中另外放置一个不带电的导体（编号为0），则第三个导体0的出现必然改变空间电场的分布，从而导致电压

3、U发生变化，设新的电压值为。对于连结两个导体1、2的电路来说，它并不知道场中具体发生了什么变化，它只关心导体上的电荷与导体之间电压的比值，对它而言，工作电容为。换言之，工作电容就是，在介质中可能存在其它不带电导体的情况下，两个带电导体的电荷q与电压U的比值；当不存在其它导体的时候，工作电容Cp就是普通的电容C。如图1，工作电容；设0号导体不带电，则导体1、2带电量分别为、。根据部分电容公式，有：又，由电容C10和C20的串联关系得：故：从而：。现在分析Cp与C的大小关系。前面说到，Cp的改变在于0号导体（电荷为0）的引入改变了空间电场的分

4、布，从而改变了导体1、2之间的电压。当0号导体位于无限远处时，它对电场的影响忽略不计，因此也就不改变导体1、2之间的工作电容，Cp=C。当0号导体逐渐移近时，保持导体1、2带电量q不变，我们考察1、2号导体之间的电压U12的变化。(a)没有0号导体时(b)有0号导体时图20号导体的引入改变了1、2之间的空间电场为计算U12，可以取连结导体1、2表面的任意一条路径对电场E积分，如图2(a)中的l1和l2。为便于分析，设l1的端点a和b分别为导体1、2表面电场强度E最大的点，我们知道，该点的电场强度，，、为导体表面的自由电荷面密度。显然，、也

5、分别为导体1和导体2表面电荷面密度的最大值。当0号导体逐渐移近时，如图2(b)，由于0号导体上感应电荷的影响，导体1上的电荷分布发生改变，a点的部分电荷向靠近0号导体的位置（例如图中的c点附近）转移，这样变小；类似的，也变小，从而沿路径l1上的电场强度E都变小，导致积分量变小，因此，工作电容变大。0号导体对工作电容的影响还可以这样理解：两导体之间的电容取决于导体的表面积和它们之间的距离。当引入第三个导体时，部分介质被短路，因而缩短了导体1、2之间的“电距离”，从而使等效电容增大。从力和能量的角度看，导体系统的总能量可表示为；当0号导体向导

6、体1、2组成的系统靠近时，它受到系统的吸引力，因此电场做正功，从而电场能量减少，也得出Cp增大的结论。综上，可以得出结论：引入其他导体时，工作电容。使用大于等于号“”，是因为存在这样的情形：引入的导体表面刚好填充原来的等位面，则不改变原来的电场分布。读者可以自己寻找这样的例子。图3部分电容的计算（2）部分电容C12根据部分电容的公式，如果将导体1跟导体0短接，即令，则需要注意这个公式和工作电容计算公式的区别。计算工作电容Cp时，0号导体不带电；而计算部分电容C12时，0号导体带电，它与1号导体带电总量为q。0号导体的带电量可以看做是与1号

7、导体短接后分走的部分电荷。设导体2带电量仍为，则1号导体剩余的带电量为。三个导体带电总量仍为0，如图3所示。可以肯定，当0号导体逐渐靠近导体1、2时，它分得的电荷逐步增多，导体1带电量逐步减少，电压也随之下降。因此，要想保持不变，唯一的办法是增大电压，因此0号导体的靠近使部分电容C12减小。0号导体分走的电荷量，在特定条件下可以是全部电荷q，从而使C12减小到0（参见下文的算例1）；但是，即使0号导体位于无限远处，仍可能有，即（参见下文算例2、算例3）。（3）算例验证（以下推导全部用Mathematica完成）图4平行板电容器算例1：在1

8、、2两个导体组成的平行电容器中，插入一个导体板（编号为0），分析工作电容和部分电容。参数如图4所示，设极板面积为S；忽略边缘效应。解：没有导体0时，电容。插入导体0后，如果保持导体1、2带电量