积分与路径的无关性

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1、授课题目§2柯西积分定理授课类型理论课首次授课时间2009年9月1日学时2教学目标掌握柯西积分定理及推广.重点与难点重点：柯西积分定理及推广到复周线的情形.难点：柯西积分定理推广到复周线的情形.教学手段与方法黑板讲授教学过程：（包括授课思路、过程设计、讲解要点及各部分具体内容、时间分配等）（一）授课思路（二）过程设计1.回顾上节课的主要内容2.讲授新课3.课堂练习与讨论4.课堂小结与布置作业（三）讲解要点及各部分具体内容：1.柯西积分定理从§１所举的例子中可以看出，在例3.1(2)中，被积函数在单连通区域平面上解析，它沿连接起点与终点的任何路径的积分值都是相同，即积分与路径无关，但在例3.3中

2、，被积函数在平面上处处不解析（见第二章习题１），而积分值却与连接起点与终点的路径无关．下面给出周线积分的基本定理。定理：设在区域内连续，是在内的原函数，即则对于内上任意起点为，终点为的周线，有。注意定理的条件蕴含在内解析。该定理的意义在于：把微积分基本定理推广到周线积分上。证明：如果是光滑曲线，例1.求，3——5其中如图：　解：因为对任意的，被积函数有原函数，，不必再求C的参数表示，由定理1例2.求，其中C分别如下图：解：（1）在去掉负实轴的区域内取对数函数的分支：（）则在区域，于是=推论1：若在区域内连续，且在内有原函数，则对内的任意环线，有=0这个推论提供了当时，积分的另一求法。推论2.若

3、在区域内连续，且在内有原函数，则它沿内的周线积分只依赖与周线的端点，即积分与连接这两点的路径无关。如下图：3——5至此，我们将建立已讨论的三个性质的等价性：定理2.设在区域内连续，则以下结论等价：（1）在内的原函数（2）沿内的任意环线的积分为零。即对内的任意环线，有=0（3）沿内的周线积分与路径无关。，即对于内任意两点与，积分值与连接起点与终点的路径无关证明：(2)(3)设与是内连接与的两条曲线，则正方向曲线与负方向曲线就连接成内的一条闭曲线，从而由定理及§１的性质（３）有因此(3)(1)只其起点和终点有关，因而当起点固定时，对于一个，就唯一地确定了一个积分值，这说明当固定时，积分就定义了内的

4、一个单值函数，记为　　(3.5)，作一个以为心，以充分小的为半径的圆，使得，在内取动点，则由于积分与路径无关，因而我们可取的积分路径为由沿与相同的路径到，再从沿直线段到（图３.3）3——5图3.3从而有于是　但已知在内连续，所以对，可取上述的充分小，使得在内的一切点均有，从而由定理3.2有即　现在看来，定理2的作用不大，我们甚至怀疑能否验证一个函数沿这任何闭曲线的积分为零。在下一节中我们将得到一个令人惊讶的定理：Cauchy定理。它给出了使上述性质成立的简单条件。思考题、讨论题、作业3——5教学后记3——5