《刘兴坤毕业论》word版

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1、陕西理工学院毕业论文非周期函数的Fourier展开方法及其应用刘兴坤(陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学092班,陕西汉中723000)指导教师:王树勋[摘要]主要讨论如何将定义在[a,b]满足Dirichlet条件的非周期函数展成的Fourier级数.在不同的方法中加以利用.[关键词]函数;Fourier级数;Dirichlet条件；延拓引言通过对周期函数的Fourier展开的学习,对周期函数的Fourier展开进行研究,发现对于非周期函数并没有展开式,所以,运用周期延拓,变换等手段给出在任意区间上的函数的Fourier展开方法与公式.1引理若在整个数

2、轴上=且等式的右边级数一致收敛，则有如下关系式：2定理1设的周期为,在区间上作变换,则所以定义在上的周期为的函数.就有,代回变量,即第11页共11页陕西理工学院毕业论文相应的Fourier系数为==(n=0,1,2,…)，==，(n=1,2，…).例1将=展开为Fourier级数.解令，计算的Fourier系数：==对n=1,2,…，利用分部积分法======，于是得到的Fourier级数+.3定理13.1设,,且满足Dirichlet条件，则可以展成Fourier级数：其中为常数(n=0,1,2,…)，(n=1,2,…).当为的连续点时，该级数收敛于；当为的间断点

3、时，该级数收敛于;当时，第11页共11页陕西理工学院毕业论文该级数收敛于.证明作变换,则,当时,,且：其中:=====(n=0,1,2,…)，同理可得：=(n=1,2,…).由于当为的连续点时，==,故当为的连续点时该级数收敛于;当为的间断点时，该级数收敛于;当时，由于,,故此时该级数收敛于.3.1.1该定理把定义在上的非周期函数展成了Fourier级数，且给出了它的展开公式。3.1.2公式中的为任何一个常数，当取不同的值时，可以得到的无穷多个展开式，从而说明：定义在上的函数的Fourier展开式不是唯一的。3.1.3特别的,取的一些特殊值,可得的一些常见的展开式:

4、第11页共11页陕西理工学院毕业论文令=得的Fourier展开式为:其中:=(n=0,1,2,…)，=(n=1,2,…).令=得的Fourier展开式为：其中:=(n=0,1,2,…)，=(n=1,2,…).令,得的Fourier展开式为：其中:=(n=0,1,2,…)，=(n=1,2,…).④令=，得的Fourier展开式为：其中:=(n=0,1,2,…)，=(n=1,2,…).3.1.4定理中的区间还可以为开区间或半开区间，也可以为无穷区间。当区间为无穷区间时要求在该区间上绝对可积。第11页共11页陕西理工学院毕业论文4定理24.1设非周期函数在上有定义，则函数

5、=，，k=0…称为非周期函数的周期延拓，延拓后的函数在上是周期为2π的周期函数，并且在上有=端点处收敛例2将函数展开为Fourier级数.解所给函数满足Dirichlet条件.拓展周期的函数的Fourier级数展开式在收敛于.========(n=1,2，…)第11页共11页陕西理工学院毕业论文所求Fourier级数为:推广:利用Fourier展开式求出几个特殊级数的和因为当时，4.2非周期函数的奇偶延拓设定义在上,延拓为为周期的函数令且,则有如下两种情况.4.2.1奇延拓则的Fourier正弦级数第11页共11页陕西理工学院毕业论文4.2.2偶延拓则的Fourie

6、r余弦级数例3将函数分别展开成正弦级数和余弦级数.解(1)求正弦级数.对进行奇延拓,===(0

7、偶式周期延拓在上展成正弦或余弦级数将代入展开式在上的正弦或余弦级数例5将函数展开成Fourier级数.解作变量代换，=补充函数的定义，令然后将作周期延拓其拓展的周期函数满足收敛定理的条件，且展开式在内收敛于.第11页共11页陕西理工学院毕业论文所以一般的，奇延拓的收敛域不包括端点，偶延拓的收敛域包括端点参考文献[1]陈纪修、于崇华、金路《数学分析》下册，[M]北京:高等教育出版社;[2]沈满昌《数学分析》[M]北京:高等教育出版社;[3]高尚华《数学分析》[M](第三版).北京:高等教育出版社;[4]王树勋《非周期函数展成Fourier级数的方法》[J]陕西:陕