刘兴坤毕业论文

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1、陕西理工学院毕业论文非周期函数的Fourier展开方法及其应用刘兴坤(陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学092班,陕西汉中723000)指导教师:王树勋[摘要]主要讨论如何将定义在[a,b]满足Dirichlet条件的非周期函数展成的Fourier级数.在不同的方法中加以利用.[关键词]函数;Fourier级数;Dirichlet条件；延拓引言通过对周期函数的Fourier展开的学习,对周期函数的Fourier展开进行研究,发现对于非周期函数并没有展开式,所以,运用周期延拓,变换等手段给出在任意区间上的函数的Fourier展开方法与公式.1引理若在整个数轴

2、上=且等式的右边级数一致收敛，则有如下关系式：2定理1设的周期为,在区间上作变换,则所以定义在上的周期为的函数.就有,代回变量,即第11页共11页陕西理工学院毕业论文相应的Fourier系数为==(n=0,1,2,…)，==，(n=1,2，…).例1将=展开为Fourier级数.解令，计算的Fourier系数：==对n=1,2,…，利用分部积分法======，于是得到的Fourier级数+.3定理13.1设,,且满足Dirichlet条件，则可以展成Fourier级数：其中为常数(n=0,1,2,…)，(n=1,2,…).当为的连续点时，该级数收敛于；当为的间断点时，

3、该级数收敛于;当时，第11页共11页陕西理工学院毕业论文该级数收敛于.证明作变换,则,当时,,且：其中:=====(n=0,1,2,…)，同理可得：=(n=1,2,…).由于当为的连续点时，==,故当为的连续点时该级数收敛于;当为的间断点时，该级数收敛于;当时，由于,,故此时该级数收敛于.3.1.1该定理把定义在上的非周期函数展成了Fourier级数，且给出了它的展开公式。3.1.2公式中的为任何一个常数，当取不同的值时，可以得到的无穷多个展开式，从而说明：定义在上的函数的Fourier展开式不是唯一的。3.1.3特别的,取的一些特殊值,可得的一些常见的展开式:第11

4、页共11页陕西理工学院毕业论文令=得的Fourier展开式为:其中:=(n=0,1,2,…)，=(n=1,2,…).令=得的Fourier展开式为：其中:=(n=0,1,2,…)，=(n=1,2,…).令,得的Fourier展开式为：其中:=(n=0,1,2,…)，=(n=1,2,…).④令=，得的Fourier展开式为：其中:=(n=0,1,2,…)，=(n=1,2,…).3.1.4定理中的区间还可以为开区间或半开区间，也可以为无穷区间。当区间为无穷区间时要求在该区间上绝对可积。第11页共11页陕西理工学院毕业论文4定理24.1设非周期函数在上有定义，则函数=，，k

5、=0…称为非周期函数的周期延拓，延拓后的函数在上是周期为2π的周期函数，并且在上有=端点处收敛例2将函数展开为Fourier级数.解所给函数满足Dirichlet条件.拓展周期的函数的Fourier级数展开式在收敛于.========(n=1,2，…)第11页共11页陕西理工学院毕业论文所求Fourier级数为:推广:利用Fourier展开式求出几个特殊级数的和因为当时，4.2非周期函数的奇偶延拓设定义在上,延拓为为周期的函数令且,则有如下两种情况.4.2.1奇延拓则的Fourier正弦级数第11页共11页陕西理工学院毕业论文4.2.2偶延拓则的Fourier余弦级数

6、例3将函数分别展开成正弦级数和余弦级数.解(1)求正弦级数.对进行奇延拓,===(0

7、在上展成正弦或余弦级数将代入展开式在上的正弦或余弦级数例5将函数展开成Fourier级数.解作变量代换，=补充函数的定义，令然后将作周期延拓其拓展的周期函数满足收敛定理的条件，且展开式在内收敛于.第11页共11页陕西理工学院毕业论文所以一般的，奇延拓的收敛域不包括端点，偶延拓的收敛域包括端点参考文献[1]陈纪修、于崇华、金路《数学分析》下册，[M]北京:高等教育出版社;[2]沈满昌《数学分析》[M]北京:高等教育出版社;[3]高尚华《数学分析》[M](第三版).北京:高等教育出版社;[4]王树勋《非周期函数展成Fourier级数的方法》[J]陕西:陕