空间向量的正交分解及其坐标表示(1)

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1、3.1.4　空间向量的正交分解及其坐标表示课时目标　1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．1．空间向量基本定理(1)设i、j、k是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点O，那么，对于空间任一向量p，存在一个______________，使得____________，我们称______，______，______为向量p在i、j、k上的分向量．(2)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c___

2、_____，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得________________．(3)如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是___________．这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个________，a，b，c都叫做__________．空间中任何三个________的向量都可构成空间的一个基底．2．空间向量的坐标表示若e1、e2、e3是有公共起点O的三个两两垂直的单位向量，我们称它们为____________________，以e

3、1、e2、e3的公共起点O为原点，分别以e1、e2、e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，那么，对于空间任意一个向量p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3，把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作____________．一、选择题1．在以下3个命题中，真命题的个数是(　　)①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；

4、③若a，b是两个不共线向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．32.已知O、A、B、C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a、b不能构成空间基底的是(　　)A.B．C.D.或3．以下四个命题中，正确的是(　　)A.若＝＋，则P、A、B三点共线B．设向量{a，b，c}是空间一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底C．

5、(a·b)c

6、＝

7、a

8、·

9、b

10、·

11、c

12、D.△ABC是直角三角形的充要条件·＝

13、04.设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3G,G1若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为(　　)A．(，，)B．(，，)C．(，，)D．(，，)5．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是(　　)A．(12,14,10)B．(10,12,14)C．(14,12,10)D．(4,3,2)6.已知空间四边形OABC中＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则等于(　　)A.

14、a－b＋cB．－a＋b＋cC.a＋b－cD.a＋b－c二、填空题7．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐标分别是____________．8.已知空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则＝____________.9.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为AC1与BD1的交点，＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝______.三、解答题10.四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO平面OABC，设＝a，＝

15、b，＝c，E、F分别是PC和PB的中点，用a，b，c表示、、、.11.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA=AD,求、的坐标．能力提升12．甲、乙、丙三名工人搬运石头，分别作用于石头的力为F1，F2，F3，若i、j、k是空间中的三个不共面的基向量，F1＝i＋2j＋3k，F2＝－2i＋3j－k，F3＝3i－4j＋5k，则这三名工人的合力F＝xi＋yj＋zk，求x、y、z.13.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点，求证：EF⊥平面B1

16、AC.1．空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个．一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量．2.＝x＝x＋y＋z，当且仅当x＋y＋z＝1时，P、A、B、C四点共面．3．对于基底{a，b，c}除了应知道a，b，c不共面，还应明确：(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以