2019版高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第15讲 导数与函数的极值精选教案 理

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1、第15讲　导数与函数的极值、最值考纲要求考情分析命题趋势　　了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．2017·全国卷Ⅱ，112017·北京卷，192016·天津卷，202016·山东卷，20　　利用导数求函数的极值、最值，热点问题、高频考点，题型有求函数的极值、最值和已知函数的极值、最值求参数值或取值范围，难度较大．分值：5～8分1．函数的极值与导数(1)函数的极小值若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值__都小__，且f

2、′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧__f′(x)<0__，右侧__f′(x)>0__，则点x＝a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．(2)函数的极大值若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧__f′(x)>0__，右侧__f′(x)<0__，则点x＝b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，极大值和极小值统称为极值．2．函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么

3、它必有最大值和最小值．(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)函数f(x)在区间(a，b)内一定存在最值．(　×　)(2)函数的极大值一定比极小值大．(　×　)(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．(　×　)(4)函数的最大值不一定是极大值，最小值也不一定是极小值．(　√　)2．若函数f(x)＝asinx＋sin3

4、x在x＝处有最值，那么a＝(　A　)A．2　　　B．1　　　　C．　　　D．0解析　f′(x)＝acosx＋cos3x(x∈R)，又f(x)在x＝处有最值，故x＝是函数f(x)的极值点，所以f′＝acos＋cosπ＝0，即a＝2，故选A．3．函数y＝x·e－x，x∈[0,4]的最小值为(　A　)A．0　　　B．　　　　C．　　　D．解析　∵y′＝e－x－xe－x＝e－x(1－x)，令y′＝0，则x＝1，而f(1)＝>0，f(0)＝0，f(4)＝>0，∴最小值为0，故选A．4．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a＝(　D　)A．2　　　

5、B．3　　　C．4　　　D．5解析　∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3，f′(－3)＝0，∴a＝5.5．设函数f(x)＝xex，则(　D　)A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点解析　求导得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝ex(x＋1)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的极小值点．一　利用导数研究函数的极值利用导数研究函数极值问题的步骤【例1】已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处

6、的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．解析　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.(1)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－(x>0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，∴曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.(2)由f′(x)＝1－＝(x>0)可知，①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值．②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，∴函数f(x)在x

7、＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．综上所述，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．【例2】(1)(2017·全国卷Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　A　)A．－1　　　B．－2e－3C．5e－3　　　D．1(2)(2017·浙江金华十校联考)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是！！！　　###.解析　(1)因为f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，所以f′(x)＝(2x＋a)ex－1

8、＋(x2＋ax－1)ex