2、为等比数列,且a1=1,q=2,则Tn=++…+的结果可化为( )A.1-B.1-C.D.5.数列{an}的通项公式an=2[n-(-1)n],设此数列的前n项和为Sn,则S10-S21+S100的值是( )A.9746B.4873C.9736D.97486.(能力挑战题)若数列{an}满足-=d(n∈N*,d为常数),则称数列{an}为“调和数列”.已知正项数列为“调和数列”,且b1+b2+…+b9=90,则b4·b6的最大值是( )A.10B.100C.200D.400二、填空题(每小题6分,共18分)7.对正整数n,若曲
3、线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列的前n项和为 .8.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若a1=2,{an}的“差数列”的通项公式为2n,则数列{an}的前n项和Sn= .9.(2014·武汉模拟)已知数列{an}的各项均为正整数,Sn为其前n项和,对于n=1,2,3,…,有an+1=其中k是使an+1为奇数的正整数,an为偶数.(1)当a3=5时,a1的最小值为________.(2)当a1=1时,S1+S2+…+S10=________.三、
4、解答题(10～11题各15分,12题16分)10.(2014·恩施模拟)已知数列{bn}中,b1+2b2+…+2n-1bn=2n2+n.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)求数列{bn}的前n项和Sn.11.(2013·湖南高考)设Sn为数列{an}的前n项和,已知a1≠0,2an-a1=S1·Sn,n∈N*.(1)求a1,a2,并求数列{an}的通项公式.(2)求数列{nan}的前n项和.12.(能力挑战题)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=,Sn=n2an-n(n-1),n=1,2,…(1)证明:数列是等差数列,并求Sn
5、.(2)设bn=,求证:b1+b2+…+bn<.答案解析1.【解析】选D.因为数列{(-1)n}是首项与公比均为-1的等比数列,所以Sn==,选D.2.【解析】选C.设等比数列的公比为q,则当公比q=1时,由a1=1得,9S3=9×3=27,而S6=6,两者不相等,故不合题意.所以q≠1,又a1=1,9S3=S6,所以9×=,解之得q=2,所以的前5项和为1++++==.3.【解析】选B.an=f=f=f-f,所以a1+a2+…+a8=f-f=f=f.故选B.4.【解析】选C.an=2n-1,设bn==,则Tn=b1+b2+b3+…
6、+bn=++…+=.5.【解析】选A.当n为奇数时,an=2(n+1);当n为偶数时,an=2(n-1),故有S10=×5+×5=60+50=110,S21=×11+×10=464,S100=×50+×50=10100.故S10-S21+S100=9746.【方法技巧】数列求和的思路(1)等差数列和等比数列的前n项和公式是求和的基础;一般数列的求和问题往往通过变形整理,转化为这两类特殊数列的和的问题.例如一类特殊数列的求和通过倒序相加法或错位相减法变形后,就可以转化为这两类数列的求和问题.(2)观察数列的特点是变形的基础.给定的数列
7、有其自身的特点和规律,根据数列的特点和规律选择合适的方法变形是解题的突破口.6.【解析】选B.因为正项数列为“调和数列”,所以bn+1-bn=d(n∈N*,d为常数),即数列{bn}为等差数列.由b1+b2+…+b9=90得=90,即b1+b9=20,所以b4+b6=b1+b9=20,又bn>0,所以b4·b6≤=100,当且仅当b4=b6时等号成立.因此b4·b6的最大值是100.7.【解析】由题意,得y′=nxn-1-(n+1)xn,故曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n×2n-1-(n+1)2n,切点为(2,-
8、2n),所以切线方程为y+2n=k(x-2).令x=0得an=(n+1)2n,即=2n,则数列的前n项和为2+22+23+…+2n=2n+1-2.答案:2n+1-28.【解析】因为an+1-an=2n,所以an=(an-an-1)+(
