高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.2 变化率问题学案 新人教a版选修2-2

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1、1.1.2变化率问题一、学习要求1．会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时加速度；2.理解并掌握导数的概念，学会求函数在某一点处导数的方法。二、先学后讲1．瞬时速度物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。物体在时刻的瞬时速度就是运动物体在到这段时间内的平均变化率，当时的极限，即。2．瞬时加速度运动物体速度的平均变化率，当时，无限趋近于一个常数，这个常数称为物体在时的瞬时加速度，即。3．瞬时变化率函数在处的瞬时变化率是：。4．导数的概念函数在处的瞬时变化率是：，称它为函数在处的导数。记为或，即==。【要点

2、说明】（1）函数在某一点处的导数就是函数在处的瞬时变化率，也就是函数在区间上的平均变化率当时的值；（2）物体的位移关于时间的导数是物体的瞬时速度；物体运动的速度关于时间的导数是物体的瞬时加速度。（3）用导数的定义求函数在某一点处的导数的步骤：①求平均变化率：；②取极限，得导数。（4）在平均变化率中，是常数，是可以趋近于0的变量，其形式可以变化，如变成，等，即。三、问题探究■合作探究例1．质点按规律做直线运动（位移单位：,时间单位：），若质点在时的瞬时速度为，则常数。（答案：2）解：设质点在附近的时间变化量为，则

3、位移的增量为：，，∴，∴质点在时的瞬时速度为，∴，。例2．函数在处的导数值。解：。■自主探究1.已知函数可导且，则。【解析】。2．一个物体的运动方程是,其中单位是米，的单位是秒，则物体在3秒末的瞬时速度是.【解析】。四、总结提升本节课你主要学习了。五、问题过关1.已知函数可导且，则。【解析】。2．某一做直线运到的物体，其位移（单位：）与时间（单位：）的关系是，则物体的初速度是。【解析】初速度就是时的瞬时速度，根据瞬时速度的定义，知∴该物体的初速度是。