高等数学第三章习题课答案

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1、第三章微分中值定理习题课一、判断题（每题3分）1.函数在点处可导，且在点处取得极值，那么.（√）2.函数在点处可导，且，那么在点处取得极值.（×）3.若是的极值点，则是的驻点.(×)4.函数在区间内的极大值一定大于极小值.(×)5.若,则在内单调增加.（√）6.且是函数在处取得极大值的充要条件.(×)7.函数的图形没有拐点.（√）8.因为函数在点不可导，所以点不是曲线的拐点.（×）二、选择题（每题3分）1.下列函数中，在闭区间[-1，1]上满足罗尔定理条件的是（　D　）.A．B．C．D．2．对于函数，满足罗尔定理全部条件的区间是（D）.（A）；（B）；（C）；（D）3.设函数

2、，则方程在内根的个数（D）(A)0个;(B)至多1个;(C)2个;(D)至少3个.4．已知函数在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，使得该定理成立的（D）.（A）（B）（C）（D）5.若函数在区间上的导函数相等，则该两函数在上（C）.A.不相等　B.相等C.至多相差一个常数　D.均为常数6.在定义域内(B).A.单调减函数B.单调增函数C.有单调增区间也有单调减区间D.没有单调性7.函数的单调减少区间是（C）.（A）（B）（C）（D）8．设内，则曲线在内的曲线弧位于其上任一条切线的（A）.（A）上方;（B）下方;（C）左方;（D）右方.9.曲线的拐点为，则（A）.（A）（B）（

3、C）（D）10.设函数在开区间内有且，则在内（C）A.单调增加，图像是凹的B.单调减少，图像是凹的C.单调减少，图像是凸的D.单调增加，图像是凸的11．函数在区间内单调增加，则和应满足（C）.（A）且；（B）且是任意实数；（C）且；（D）且是任意实数.12．函数在其定义域内（B）（A）单调减少(B)单调增加(C)图形是凹的(D)图形是凸的13．若为连续曲线上凹弧与凸弧的分界点，则（A）.（A）必为曲线的拐点;（B）必为曲线的驻点;（C）点必为曲线的极值点;（D）必为曲线的拐点.14.函数的驻点是（B）.（A）（B）（C）(D)15．函数的极值（　　D　）.A．是B．是0C．是

4、D．不存在16.设＜0，则下述正确的是（A）(A)＜＜;(B)＜＜;(C)＜＜;(D)＜＜17.设具有二阶连续的导数，且则是的（A）（A）极大值；（B）极小值;（C）驻点;（D）拐点.18.设函数在处有=0,在处导数不存在，则(C).A.,一定都是极值点B.只有可以是极值点C.,都可能不是极值点D.,至少有一个是极值点三、解答题（求极限每题4分其余每题8分）1．求极限（2）=（4）.解：1．验证罗尔中值定理对函数在区间上的正确性.解：在闭区间上连续，在开区间内可导，满足罗尔定理条件.（3分）令，得，满足罗尔定理结论.2．试证明对函数应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于区间

5、的正中间.证明：在区间上，代入：解得：.3．证明方程在之间有且仅有一个实根．证明：令，，所以在上至少一个根，又，当时，所以单增，因此在上至多有一个根.在上有且仅有一个根.1．设在上连续，在内可导，且，证明：至少存在一个，使得.提示:令证明：令，显然在上连续，在内可导，且（3分）由Larange中值定理，则至少，使得又2．设在上连续，在内可导，且，证明存在一点，使得.提示:令.证明：构造辅助函数，在上连续，在内可导在上连续，在内可导，且由Rolle定理，至少，有即3．证明：不论b取何值，方程在区间上至多有一个实根证：令时，故在区间上至多有一个实根.4．证明：当时，.证明:令，显

6、然在上满足Lagrange中值定理的条件，由中值定理，至少存在一点，使得即又即1．证明：当时，.证：,即有.2．求证：证明：令当时，故在区间上，单调递增从而当时，即或者：证明：……8分3．当时，证明：.答案参看课本p148例64．证明：当时，答案参看课本P132例15．设，证明:.证明：令，显然在上满足lagrange定理条件，故至少存在一点，使得即又由及的单增性，得1．设，证明：证明：令，在区间上连续，在区间内可导，有拉格朗日中值定理，至少存在一点，使得，又因为因此，.2．证明恒等式.证：令则在上连续.在内有:令在内成立.再根据在上的连续性,可知上式在上成立.3．求函数的极

7、值点和单调区间.解：　　因此，在定义域内有不可导点和驻点　　列表1不存在0极小值点极大值点1．求函数的单调区间，拐点及凹或凸的区间.解：,易得函数的单调递增区间为,单调减区间.,令，得.当时，，因此曲线在上是凸的；当时，，因此曲线在上是凹的，故是拐点2．试确定的值，使曲线在（）为一拐点，在处有极值，并求曲线的凹凸区间.解：为拐点，则由，则,代入，则.曲线为,.凸区间为,凹区间为.3．求函数的单调区间，拐点及凹或凸的区间.解：，易得函数的单调递增区间为,单调减区间.，令，得.当时，，因此曲线在上是凸的；当