高等数学8习题课

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1、习题课一、内容回顾二、问题举例空间解析几何第八章一、内容回顾空间平面一般式点法式截距式三点式1.空间直线与平面的方程（主要是空间直线与平面）为直线的方向向量.空间直线一般式对称式参数式为直线上一点;两点式面与面的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:2.线面之间的相互关系直线线与线的关系直线垂直:平行:夹角公式:平面:垂直：平行：夹角公式：线与面间的关系直线:3.相关的几个问题(1)有轴平面束的平面束方程过直线也可表示为:(但不能表示第二个平面)点的距离为到平面：Ax+By+Cz+D=0d(2)点到平面的距离公式到直线的距离为(3)点d此公式不可

2、能记住!!!但思路要会!!!P501413思考：直线与直线间的距离。求两直线间的距离.与两直线同时垂直的向量任取两直线的点M1,M2设加减:数乘:点积:叉积:=模:按右手法则从a转向b.方向:４．向量的运算两向量的夹角余弦三角形的面积公式混合积:５.向量关系绕z轴旋转yoz面上曲线C:绕y轴旋转总之,绕谁谁不变,另外一个正负根号换,换完就得旋转面(根号下为另两个的平方和)…………６.旋转面求空间曲线C:…，绕x轴旋转一周的旋转面的方程。７.二次曲面步骤如下：C的参数方程：则旋转面的方程：曲线上的任意点绕旋转至曲面上的任意点(1).椭球面椭球面的草

3、图为:当a＝b时或…为旋转椭球面;当a＝b＝c时为球面.(2).椭圆锥面草图为:当a＝b时为圆锥面(3).单叶双曲面草图为当a＝b时为旋转单叶双曲面(4).双叶双曲面草图为:当a＝b时为旋转双叶双曲面(5).椭圆抛物面草图为:a=b时为旋转抛物面(6).双曲抛物面（鞍形曲面）草图为由xoz面上抛物线沿yoz面的抛物线平行移动而成．(7).椭圆柱面(8).双曲柱面(9).抛物柱面8.母线平行于坐标轴的柱面10、空间曲线在坐标面上的投影9、空间曲线的参数方程(第11章曲线积分的计算时用)(第10章、第11章要用到)二、问题举例例1.求与两平面x–4z

4、=3和2x–y–5z=1的交线提示:所求直线的方向向量可取为利用点向式可得方程平行,且过点(–3,2,5)的直线方程.例2.求直线与平面的交点.提示:化直线方程为参数方程！！！代入平面方程得从而确定交点为（1，2，2）.例3.求过点(2,1,3)且与直线垂直相交的直线方程.提示:先求二直线交点P.化已知直线方程为参数方程,代入①式,可得交点最后利用两点式得所求直线方程的平面的法向量为故其方程为①过已知点且垂直于已知直线例4.设一平面平行于已知直线且垂直于已知平面求该平面与三坐标面夹角的余弦.提示:已知平面的法向量求出已知直线的方向向量取所求平面的

5、法向量平面与yoz、xoz、xoy面得夹角的余弦分别为：例5.求过直线L:且与平面夹成角的平面方程.提示:过直线L的平面束方程其法向量为已知平面的法向量为选择使从而得所求平面方程例6.求过点且与两直线都相交的直线L.解:的方程化为参数方程设L与它们的交点分别为的方程为将(1,1,1)代入可求得t1=0,t2=2.(过M0)则L的方程为例7.求与两直线垂直相交的直线L的方程.解:的方程化为参数方程设垂足坐标分别为的方向向量为据题意…例8.直线绕z轴旋转一周,求此旋转转曲面的方程.提示:在L上任取一点旋转轨迹上任一点,则有此即为旋转曲面方程(选ｚ为参

6、数!!!)(0,0,z)思考与练习P51题21画出下列各曲面所围图形:P51题21(1)解答:P5121(2)P5121(4)作业P4911;15P5115;16;17;19求曲线绕z轴旋转所得旋转曲面方程绕z轴最初的点,旋转至(x,y,z)点,此过程到(0,0,z)的距离相等.（选z为参数）即P37题7但直接削去y得,在yoz面上的投影为:…(较复杂)在xoy面上的投影为:在xoz面上的投影为:交线在xoy面上的投影交线在xoz面上的投影求直线在平面上的投影直线的方程；并求（98数一5分）绕y轴旋转一周所成曲面的方程．解:过L的平面方程为即法线

7、已知平面的法线向量令则过L与平面π垂直的平面为:(有轴平面束)化为参数方程，并选y为参数绕y轴旋转至P(x,y,z)则●(0,y,0)P(x,y,z)●知:为单叶旋转双曲面.化为标准方程:（为什么？）