《动态经济学》word版

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1、〖数理经济学〗董志勇经济学院第11讲动态经济学（2）第七节可变系数和可变项在更一般的一阶线性微分方程中（10.17）和分别表示可变系数和可变项。在这种情况下，如何求出时间路径？齐次方程的情况对于齐次方程的情况，其中，方程的解很容易求出。因为微分方程的形式为或（10.18）两边依次对积分，得到左边＝（假定）右边＝后一个方程难以进行进一步的积分，因为未给出具体形式。因此，我们不得不满足于一个一般积分表达式。当方程两边相等时，结果成为：则所求的的路径可以通过求的反对数得到：在此（10.19）这是微分方程（10.18）的通解。

2、为突出系数的可变性质，我们已明确地写出了变量。但为了简化书写符号，我们从现在起省略自变量，并将简化为。将不变系数模型的通解（10.18）与（10.19）相比较，（10.19）中唯一的修正是以更复杂的表达式代替了。如果我们将中的解释成（加上一个可纳入A项中的常数，因为自乘常数幂仍为常数），我们可以更好地理解这种变化的合理性。由此看来，这种差别就变成相似性了。因为在两种情况下，我都取微分方程中项的系数（在一种情况中为常数项，在另一种情况中为可变项）并将对积分，然后再取所得积分的负值作为的指数。一旦得到通解，根据适当的初始条

3、件求得定解，便是一个相对简单的事了。例6．求方程。这里，且。因此，由（10.19），我们可以把解写成在此注意，如果省去积分常数，我们不会失去任何信息，因为那样我们会得到，它与上式的解相同，因为A和B均表示任意常数。换言之，指数式总可以归入另一个常数A中。非齐次方程的情况对于非齐次方程的情况，其中，解方程就有些难度了。我们将通过后面将要讨论的恰当微分方程概念试求其解。但在这里先给出结果：给定微分方程（10.17），通解为（10.20）其中A为如果均有恰当的初始条件，便可以确定的任意常数。例7．求方程的通解。我们有和（为任

4、意常数），所以由（10.20），有（在此是任意常数）此解的正确性也可通过微分来检验。第八节恰当微分方程我们现在引入恰当微分方程的概念，并运用这种解法解微分方程（10.16）以得到解的公式（10.19）。尽管我们现在的目的是解线性微分方程，但恰当微分方程本身可以是线性的，也可以是非线性的。恰当微分方程给定二元函数，其全微分为令此微分等于零，所得到的方程被称作是恰当微分方程，因为其左边恰好是的微分。一般而言，微分方程（10.20）当且仅当存在一个函数使得和时，便是恰当的。然而，根据杨氏定理，我们还可以表明，当且仅当（10.

5、21）时，（10.20）是恰当的。注意，我们对M和N项关于出现的方式并未施加任何限制。因此，恰当微分方程完全可以是非线性的。然而，它总是一阶和一次的方程。作为恰当方程，微分方程只是表明因此，其通解的形式显然为所以，解恰当微分方程基本上是求原函数，并令其等于任意常数。下面我们对方程，介绍求的方法。解法首先，因为，所以函数F必定包含M对变量的积分；这样，我们可以将初步结果以未确定的形式，写出如下：（10.22）这里，偏导数M将仅对积分；即在积分过程中将被视为常数，正如它在的偏微分从而产生的过程中被视为常数一样。因为在对偏微

6、分过程中，任何仅含有变量和某些常数的相加的项会消失，因此，我们在（10.22）中引入了一个一般项。尽管它并非恰好与积分常数相同，但它确实与积分常数发挥同样的作用。得到是相对容易的，但我们如何确定项的确切形式呢？诀窍在于利用。例8．解恰当微分方程在此方程中，有和第一步：由（10.22），我们可以首先写出初步结果第二步：对偏微分，可得但因，和，可得第三步：上述结果的积分为则我们有了的具体形式。在本例中，恰好是一个常数。在更一般的情况下，它可以是的非常数函数。第四步：将第一步和第三步的结果结合起来可以得到则恰当微分方程的解应

7、为。但因常数可以纳入中，我们可以简单地将解写成或（为常数）例9．解方程。我们首先检验它是否是恰当微分方程。令，，可求得。因此，方程通过了恰当性检验。为了求其解，我们仍遵循上例的步骤。第一步：应用（10.22）并写成第二步：将此结果对微分，可得则令其等于，可得第三步：将最后结果积分得到（常数可以省略）第四步：将第一步和第三步的结果合并，以得到的完备形式：这意味着给定微分方程的解为这四个步骤可以用于解任何恰当微分方程。有意思的是，甚至当给定方程不是恰当的时候，也可以应用这四个步骤。但要看到这一点，我们必须首先引入积分因子这

8、个概念。积分因子有时，将微分方程的每一项都乘以一个特定的公因子，非恰当的微分方程也可以成为恰当微分方程。这样的因子称作积分因子。例10．微分方程不是恰当的，因为它不满足（10.21）：但是，如果将给定方程的每项均乘以，它便成为（10.19），从而成为恰当微分方程。因此，是本例给出的微分方程的积分因子。一阶线性微分方程的解一般的一阶