《傅里叶函数》word版

《《傅里叶函数》word版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、第五章傅里叶函数§5.1傅里叶级数以上函数是将其展为幂级数，除此外，还有一个常见的情况是将函数展为三角级数（每一项是三角函数），三角函数是周期性。一般是周期性函数展为三角级数一．周期函数的傅里叶展开1、周期是2的函数即f(x)=f(x+2)的三角展开为：f(x)=+其中：==………(1)=2、周期为2的函数，即f(x)=f(x+)的三角展开和傅里叶展开：f(x)=+其中：系数：==………(2)=可将、合并后来表示：=k=0、1、2……其中：=3、三角级数的性质（1）、周期性（2）、正交性：指的是：=……(3)=(3

2、)、完备性=0略……完备方程：当n时，对一致连续f(x)：=（4）、狄里希里定理（傅氏级数的收敛性）周期函数若满足：（1）处处连续或在每个周期只有有限个第一关键断点。（2）、处处连续或在每个周期只有有限个极值。则展开的傅氏级数收敛，且：级数和=二、奇函数和偶函数的傅里叶展开1、若周期函数f(x)是奇函数，则因为傅氏展开成=0=0因为三角级数中，没有余弦级数项。特点：奇函数在x=0和x=处为零：f(0)=f()=02、对于偶函数：因为=的被积函数是奇函数。所以=0即级数只在余弦项：特点：是正弦函数，所以==0三、定义

3、在有限区间的函数的傅里叶展开。对于在有限区间上有定义的函数，可争取某种拓延的法，使其成为某种周期函数g(x),使g(x)在原区间等于f(x),即可作傅里叶展开。例如：在（0，）上的f(x)，可构造g(x)使得在（0，）上有则g(x)的展开式，显然有（0，）区间此展开式等于f(x)。例题1、已知f(x)=x，.试将此函数分别在上延拓为偶函数和奇函数：解：（1）令（偶函数余弦展开）（2）令g(x)=x（奇函数正弦展开）四、傅里叶展开的意义：周期函数f(x)的傅氏展开为：可写成：f(x)=其中：是与k有关的常数，具有“图

4、频率”的意义。这样，傅氏级数的任意一项（第k项）的函数具有波形的意义，即，频率为的波形，且为k越大，所对应的波形频率越大。在此意义下，傅里叶展开的意义可理解为将一个“混合波包”f(x)按波形展开——即将一个混合波分别为各种波，每一种波在f(x)中占的份额（权重）由或给出。故，在物理学中，又将傅里叶展开成为傅里叶分析。习题冲解：3、在区间上定义，根据条件，把f(x)展为傅里叶级数。分析：（1）、傅里叶级数要求f(x)是周期函数，故需对f(x)作周期拓延。（2）、，条件要求f(x)在0，点分别是偶、奇拓延。故：偶拓延,

5、奇拓延可作图：在区间，f(x)为偶函数。所以，展开式中则：当时，时n=0、1、2、……所以例：定义在上的函数，要求，求其傅里叶展开。§5.2傅里叶积分与傅里叶变换本节，将周期性函数的傅里叶展开拓展到非周期（全空间）函数的傅里叶展开。一、实数形式的傅里叶变换。设f(x)是一般非周期函数，如何将它作傅里叶展开呢？可按如下方式思考问题：由周期非周期即：由已知g(x)非已知f(x)设g(x)是周期为的函数（可展为傅里叶级数），若，于是（非周期）考察：令，是不连续参量（），间隔均匀。则（1）可写为：若时，有限，即存在（一般都

6、能保证）则：且，意味着连续（w）注意到此时，（2）可写为：+其中：于是：我们将（3）称为非周期函数的傅里叶积分（傅里叶连续展开（按频率展开）），（4）称为的傅里叶变换式。（将变量x的函数变换为变量为w的函数A（w））利用三角分式（3）还可写为另一种形式：二、奇、偶函数的傅氏变换及其对称形式。若为奇函数，傅氏积分将只存在正弦项若为偶函数，傅氏积分将只有余弦项（6）、（7）均可写为对称形式。（只要令）则：实际上，可以令则有完全对称的形式：据此，可写出一般函数的傅氏变换式（略）习题讲解：1、，求得上半平面奇点：求解留数分

7、别为：问题主要在代解此留数和：（）代回（1）式：所以，傅里叶变换式的比较及意义（物理）理解：一般积分、变换式：意义理解：：空间（长度量）：关于空间的分布（宽度设R）函数。：圆频率（）、：关于频率的分布函数——频谱。三、复数形式的傅里叶积分由实数形式的傅里叶积分变换可导出复数形式的傅氏变换，而复数形式的傅氏变换更为方便，且可写为完全对称的形式。（12）与（13）分别称为傅氏变换的正和逆变换，证作：与分别称为傅氏变换的原函数和像函数，为的像空间。例1、将解：此函数是偶函数，其展开式：其中：可见，积出来确为函数。例2、求

8、矩形脉冲h的复数形式的傅里叶变换。分析：令，若作相空间作变换，有：事实上，与对应空间值有：当，故：解：h例3、将展为傅里叶级数（傅里叶积分不行，因为在不收敛，不可积）解：设（周期，令）因为是偶函数，所以，所以，偶，可令（=1、2、3、……）四、傅里叶积分（变换）的基本性质1、导数定理：2、积分定理：3、相似性定理：4、延迟定理：5、位移定理：6、卷积定理：其