文数书稿平面向量的基本定理及坐标表

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1、第26节平面向量的基本定理及坐标表示一、考点考纲明确目标1．了解平面向量的基本定理及其意义。2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。3．会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件。二、基础再现回归课本1．平面向量基本定理如果是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使。.我们把不共线向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为注意：（1）是同一平面内的两个不共线向量；（2）该平面内的任意向量都可用线性表示，且这种表示是唯一的；（3）对基底的选取不唯一，只要是同一

2、平面内的两个不共线向量都可以作为一组基底.2．向量的正交分解及坐标运算（1）平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.（2）平面向量的坐标表示在平面直角坐标平面内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、，、作为基底，对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得，则我们把有序实数对叫做向量的（直角）坐标，记作，叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标。把叫做向量的坐标表示。注意：相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相等向量。3．平面向量的加法和减法的坐标运算（1）设，则：①；②；③.注意

3、：（1）两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差，数乘向量积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积；（2）两个向量的坐标相同时，两个向量相等，但是它们的起点和终点的坐标却不一定相同.（2）给定点，则4．用平面向量坐标表示向量共线条件：设则向量共线，即∥三、三基检测知己知彼1．设分别为与轴，轴正方向相同的两个单位向量，若，则向量的坐标是（）.答案：A解析：由平面向量基本定理可知，故选A2．已知向量，，若与共线，则的值为ABCD答案：D解析：∵，∴=；=∵与共线∴即3．（2009韶关一模文）已知，若，则实数的值是（）A.-17B.C.w

4、.w.w.k.s.5u.c.o.mD.答案：B解析：∵∴；∵∴即4．若点O(0,0)，A(1,2)，B(－1,3)且,,则点A′的坐标为　　　　，点B′的坐标为　　　　,向量的坐标为　　　　.答案：A′(2,4)，B′(－3,9)，＝(－5,5)解析：∵O(0,0)，A(1,2)，B(－1,3)，∴＝(1,2)，＝(－1,3)，＝2×(1,2)＝(2,4)，＝3×(－1,3)＝(－3,9).∴A′(2,4)，B′(－3,9)，＝(－3－2,9－4)＝(－5,5).5．（05，广东）已知向量，且∥，则________.答案：4解析：∵∥∴

5、即四、典例研究提升能力考点一、平面向量的基本定理及其应用例题1已知A(1,-2)，B(2,1)，C(3,2)，D(-2,3)，以,为一组基底来表示.解：∵=(1,3),=(2,4),=(-3,5)，=(-4,2),=(-5,1),∴=(-12,8)根据平面向量基本定理，必存在唯一实数对m,n使得=m+n∴(-12,8)=m(1,3)+n(2,4)∴得m=32,n=-22;∴=32—22即时练习：如图所示，在△OAB中，,，AD与BC交于点M，设，，以，为基底表示解：设＝ma＋nb(m，n∈R).则＝(m－1)a＋nb，＝b－a＝－a＋b

6、.因为A，M，D三点共线，所以即m＋2n＝1，而＝(m－)a＋nb，＝b－a＝－a＋b，因为C，M，B三点共线，所以，即4m＋n＝1.由解得所以规律总结：正确运用坐标运算求得各个向量坐标，求解方程组，要求计算正确。考点二、平面向量的坐标运算例二、已知及，试问：（1）为何值时，点在轴上？在轴上？在第二象限？（2）四边形能否成为平行四边形？若能，求出相应的值；若不能，请说明理由.解：（1）若在轴上，则若在轴上，则若在第二象限，则（2）若四边形为平行四边形，则，而所以四边形不能成为平行四边形。即时练习：已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(

7、－3，－4).设＝a，＝b，＝c，且＝3c,＝－2b，(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M、N的坐标及向量的坐标.解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8).(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42).(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，(3)∵＝3c∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20).∴(0,20).又∵＝－2b，∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)

8、，∴N(9,2).∴＝(9，－18).规律总结：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出线性系数。考点三、平行（共线）向量的坐标运算例三：.若∥，求与的关系式。