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1、第二讲平面向量的基本定理及坐标表示一、基本知识点：1、平面向量的基本定理：2、平面向量的正交分解：3、平面向量的坐标表示：4、平面向量的坐标运算：5、两向量平行的充要条件：二、应用举例考点1、平面向量的基本定理例1、已知点P在AB上，O是AB外任意一点，求证：，且.变式1、已知向量不共线，实数满足，则的值是9.变式2、设不共线的非零向量，且.(1)求证：可作为一组基底；(2)用表示向量；(3)若，求的值.变式3、如图，E为平行四边形ABCD的边AD上一点，且，设.若则,.变式4、如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的值
2、为2变式5、如图,,点在由射线,线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且,则的取值范围是__________;当时,的取值范围是__________变式6、设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ(λ∈R)，＝μ(μ∈R)，且＋＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是( )A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C、D可能同时在线段AB上D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上课标理数12.F2[2011·山东卷]D 【解析】若C、D调和分割点A；
3、B，则＝λ(λ∈R)，＝μ(μ∈5用心爱心专心R)，且＋＝2.对于A：若C是线段AB的中点，则＝⇒λ＝⇒＝0，故A选项错误；同理B选项错误；对于C：若C、A同时在线段AB上，则0<λ<1,0<μ<1⇒＋>2，C选项错误；对于D：若C、D同时在线段AB的延长线上，则λ>1，μ>1⇒＋<2，故C、D不可能同时在线段AB的延长线上，D选项正确．考点2平面向量的坐标表示及坐标运算例2、已知点A（-2,4），B（3，-1）,C(-3,-4)，且，试求和的坐标.(答案：)变式1、平面内给定3个向量回答下列问题：（1）求;(2)求满足：的实数；（3）若，求实数k的
4、值.变式2、已知平面向量=（1，2），=（－2，m），且∥，则2+3=（B）A.（－5，－10）B.（－4，－8）C.（－3，－6）D.（－2，－4）变式3、设向量，若向量与向量共线，则2.变式4、已知点A（2,3），B（5，4）,C(7,10)，若，试问：（1）为何值时，点P在第一、三象限角平分线上；()（2）为何值时，点P在第三象限.()考点3共线、平行与垂直例3、变式5、已知△ABC的顶点分别为A(2，1)，B(3，2)，C(－3，－1)，BC边上的高AD，求及点D的坐标、解：设点D的坐标为(x,y)，∵AD是边BC上的高，∴AD⊥BC，∴⊥又
5、∵C、B、D三点共线，∴∥又=(x－2,y－1),=(－6,－3)=(x－3,y－2)∴解方程组，得x=,y=5用心爱心专心∴点D的坐标为(，)，的坐标为(－，)变式1、若向量则一定满足（B）A的夹角等于B⊥C∥D⊥变式2、已知平面向量a=，b=，则向量A平行于轴B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于轴D.平行于第二、四象限的角平分线【解析】,由及向量的性质可知,C正确.变式3、已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么（）A．且c与d同向B．且c与d反向C．且c与d同向D．且c与d反向【答案】D【解析】本题主要考查向量的共线（平行
6、）、向量的加减法.属于基础知识、基本运算的考查.取a，b，若，则cab，dab，显然，a与b不平行，排除A、B.若，则cab，dab，即cd且c与d反向，排除C，故选D.变式4、设两个非零向量不共线.（1）若，求证：A、B、D三点共线；（2）试确定实数k，使共线.变式5、已知向量其中t和k为不同时为零的实数.（1）若，求此时k和t满足的函数关系式；（2）若，求此时k和t满足的函数关系式.考点4综合应用例4、在平面直角坐标系中，已知三点A(-1，2)，B(0，x+2)，共线，其中.（1）求函数表达式；（）（2）若函数是单调函数，求的取值范围；5用心爱心
7、专心（3）若时，函数的最小值为，求的解析式.变式1、设向量、满足：｜｜＝｜｜=1，且+=(1，0)，求，.解：∵｜｜＝｜｜=1，∴可设=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ),∵+=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(1,0)，∴由(1)得：cosα=1－cosβ……(3)由(2)得：sinα=－sinβ……(4)∴cosα=1－cosβ=，∴sinα=±,sinβ=.故或变式2、已知是两个向量集合，则A．｛〔1，1〕｝B.｛〔-1，1〕｝C.｛〔1，0〕｝D.｛〔0，1〕｝【答案】A【解析】因为代入选项可得故选A.变式3、已知平
8、面向量a=，b=，则向量A平行于轴B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于轴D.平行于第二、四象限的角平分
