高中数学 2.3.1双曲线及其标准方程教案 新人教a版选修2-1

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1、吉林省东北师范大学附属中学2014-2015学年高中数学2.3.1双曲线及其标准方程教案新人教A版选修2-1◆知识与技能目标理解双曲线的概念,掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题;理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法;了解借助信息技术探究动点轨迹的《几何画板》的制作或操作方法.◆过程与方法目标(1)预习与引入过程预习教科书56页至60页,当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时,观察平面截圆锥的截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是什么图形?又是怎么样变化的?特别是当截面与圆锥的轴线或平行时

2、,截口曲线是双曲线,待观察或操作了课件后,提出两个问题:第一、你能理解为什么此时的截口曲线是双曲线而不是两条抛物线;第二、你能举出现实生活中双曲线的例子.当学生把上述两个问题回答清楚后,要引导学生一起思考与探究P56页上的问题(同桌的两位同学准备无弹性的细绳子两条(一条约10cm长,另一条约6cm每条一端结一个套)和笔尖带小环的铅笔一枝,教师准备无弹性细绳子两条(一条约20cm,另一条约12cm,一端结个套,另一端是活动的),图钉两个).当把绳子按同一方向穿入笔尖的环中,把绳子的另一端重合在一起,拉紧绳子,移动

3、笔尖,画出的图形是双曲线.启发性提问:在这一过程中,你能说出移动的笔小(动点)满足的几何条件是什么?〖板书〗§2.2.1双曲线及其标准方程.(2)新课讲授过程(i)由上述探究过程容易得到双曲线的定义.〖板书〗把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线(hyperbola).其中这两个定点叫做双曲线的焦点,两定点间的距离叫做双曲线的焦距.即当动点设为时,双曲线即为点集.(ii)双曲线标准方程的推导过程提问:已知椭圆的图形,是怎么样建立直角坐标系的?类比求椭圆标准方程的方法由学生来建

4、立直角坐标系.无理方程的化简过程仍是教学的难点,让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数学活动过程.类比椭圆:设参量的意义:第一、便于写出双曲线的标准方程;第二、的关系有明显的几何意义.类比:写出焦点在轴上,中心在原点的双曲线的标准方程.(iii)例题讲解、引申与补充例1已知双曲线两个焦点分别为,,双曲线上一点到,距离差的绝对值等于,求双曲线的标准方程.分析:由双曲线的标准方程的定义及给出的条件,容易求出.补充:求下列动圆的圆心的轨迹方程:①与⊙:内切,且过点;②与⊙:和⊙:都外切;③与⊙:外切,且与⊙:

5、内切.解题剖析:这表面上看是圆与圆相切的问题,实际上是双曲线的定义问题.具体解:设动圆的半径为.①∵⊙与⊙内切,点在⊙外,∴,,因此有,∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支,即的轨迹方程是;②∵⊙与⊙、⊙均外切,∴,,因此有,∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的上支,∴的轨迹方程是;③∵与外切,且与内切,∴,,因此,∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支,∴的轨迹方程是.例2已知,两地相距,在地听到炮弹爆炸声比在地晚,且声速为,求炮弹爆炸点的轨迹方程.分析:首先要判断轨迹的形状,由声学原理:由声速及,两地听到爆炸声的

6、时间差,即可知,两地与爆炸点的距离差为定值.由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程.扩展:某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告:正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响,正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚.已知各观察点到该中心的距离都是.试确定该巨响发生的位置(假定当时声音传播的速度为;相关点均在同一平面内).解法剖析:因正西、正北同时听到巨响,则巨响应发生在西北方向或东南方向,以因正东比正西晚,则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上.如图,以接报中心为原点,正东、正北方向分别为轴、轴方

7、向,建立直角坐标系,设、、分别是西、东、北观察点,则,,.设为巨响发生点,∵、同时听到巨响,∴所在直线为……①,又因点比点晚听到巨响声,∴.由双曲线定义知,,,∴,∴点在双曲线方程为……②.联立①、②求出点坐标为.即巨响在正西北方向处.◆能力目标(1)想象与归纳能力:能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是双曲线的实际例子,能用数学符号或自然语言的描述双曲线的定义,能正确且直观地绘作图形,反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示.(2)思维能力:会把几何问题化归成代数问题来分析,反过来会把代数问题转化为几何问题来

8、思考,培养学生的数形结合的思想方法;培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究,培养学生的辩证思维能力.(3)实践能力:培养学生实际动手能力,综合利用已有的知识能力.(4)数学活动能力:培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力.(5)创新意识能力:培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力,探究解决问题的一般的思想、方法和途径.练习:第55页1、2、3作业:第61页1、2

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