高中数学 2.1.2 指数函数及其性质的应用素材 新人教a版必修1

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1、2.1.2指数函数及其性质课外拓展复合函数的概念及其性质一、复合函数的概念函数y=f（u)的定义域为集合B，函数u=g（x)的定义域为集合A，值域为集合D.如果D⊆B，那么对于A中每个x值，通过中间变量u，y都有唯一的值与之对应.这样，y是x的函数，记作y=f（g（x)).这个函数是由y=f（u)，u=g（x)复合而成的函数，我们把它叫做复合函数，其中y=f（u)叫做外层函数，u=g（x)叫做内层函数.例如，函数是由函数，+2x+1复合而成的.其中，是外层函数，+2x+1是内层函数.注意：1.复合函数y=f（g（x))的第二种

2、表示法是y=f（u)，u=g（x)；2.复合函数y=f（g（x))的定义域是使y=f（u)和u=g（x)同时都有意义的x值组成的集合；3.在复合函数y=f（g（x))中，外层函数的定义域就是内层函数的值域,因为外层函数y=f（u)中u的取值不仅要使y=f（u)有意义，而且必须是内层函数u=g（x)的函数值.二、复合函数的定义域例1已知函数f（x)的定义域为（1，2］，求函数y=f（x+1)的定义域.分析：由已知函数的定义域，求复合函数的定义域，只需将所求式中括号内的式子看成已知式中的x，再解不等式，求其定义域.解：由1

3、≤2，得0

4、0

5、的值域（对于两重以上的复合函数仍按此法依次进行).例3求函数的值域.解：设-2x，则，-1≥-1，所以=，所以函数的值域是.四、复合函数的单调性设函数u=g（x)在区间M上有定义，又函数y=f（u)在区间N上有定义，且x∈M，g（x)∈N.1.若函数u=g（x)在区间M上是增函数，函数y=f（u)在区间N上是增函数，则y=f（g（x))在区间M上是增函数；2.若函数u=g（x)在区间M上是增函数，函数y=f（u)在区间N上是减函数，则y=f（g（x))在区间M上是减函数；3.若函数u=g（x)在区间M上是减函数，函数y=f（u

6、)在区间N上是增函数，则y=f（g（x))在区间M上是减函数；4.若函数u=g（x)在区间M上是减函数，函数y=f（u)在区间N上是减函数，则y=f（g（x))在区间M上是增函数.规律：复合函数单调性依y=f（u)，u=g（x)的单调性决定.即“增增得增，减减得增，增减得减”，可以简化为“同增异减”.判断复合函数的单调性的步骤如下：（1)求复合函数的定义域；（2)将复合函数分解为若干个常用函数（一次函数、二次函数、指数函数等)；（3)判断每个常用函数的单调性；（4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；（5)求出复合函数

7、的单调性.例4求函数的单调区间.解：设，则，函数在区间（-∞，0］上为增函数，在［0，+∞)上为减函数，而函数在（-∞，+∞)上为减函数，根据复合函数单调性的判断规律：同增异减，可知，函数在区间（-∞，0］上为减函数，在［0，+∞)上为增函数.指数式大小比较四法一、单调性法例1比较与的大小.解：∵，，又0.4<1.1，且函数在（-∞，+∞)上是增函数，∴，即<.二、中间量法例2比较与的大小.解：∵=1，=1，∴.点评：中间量法是指利用性质不易比较时，运用0，1等中间量进行比较，从而使问题获解.三、分类讨论法例3比较与（a>0，

8、且a≠1)的大小.分析：解答此题既要讨论幂指数+1与+2的大小关系，又要讨论底数a与1的大小关系.解：（1)令+2，得x>1或x<-1.当a>1时，若+2，从而有；当01时，若+2，从而有；当00⇔A>B,A-B<0⇔A

9、A-B=0⇔A=B；②在两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断>1或<1即可.例4若00，试比较与的大小.解：∵00，>0.∴=.又00，∴>=>1.又c>0，∴>1，即.