无限冲激响应数字滤波器的设计(1)

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1、第六章无限冲激响应数字滤波器的设计无限冲激响应（IIR）数字滤波器可以实现用较少的阶数达到要求的幅度特性，因此，所需的运算次数及存储单元都较少，所以，在要求相位特性不严格的场合使用IIR数字滤波器是适宜的。IIR滤波器的系统函数可以用极、零点表示如下：一般满足M≤N，这类系统称为N阶系统，当M>N时，H(z)可看成是一个N阶IIR子系统与一个(M-N)阶的FIR子系统的级联。以下讨论都假定M≤N。IIR滤波器的系统函数的设计就是确定各系数ak,bk或零极点ck，dk和A，以使滤波器满足给定的性能要求。设计IIR数字滤波器一般

2、有以下三种方法：(1)模拟-数字转换法先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足预定指标的数字滤波器。这种方法很方便，因为模拟波滤波器已很成熟，它有很多现成的设计公式，并且设计参数已经表格化，使用起来既方便又准确。(2)直接法滤波器系统函数的零点和极点位置完全决定了滤波器的幅度和相位响应。所以，通过合理设置数字滤波器系统函数的零、极点，即可得到符合要求的滤波特性。这种方法往往需要多次调整零、极点位置，称为直接法，也称为零、极点累试法。(3)计算机辅助设计法。这是一种最优化设计方法。它先确定一种最优化准则，例如设计出的实际频

3、率响应的幅度与理想频率响应的幅度的均方误差最小准则，或它们的最大误差最小准则等，然后确定满足该最佳准则的滤波器系数ak、bi。这种设计一般不易得到滤波器系数的显式表达式，而是需要进行大量的迭代运算，需用计算机辅助设计完成。本章主要讨论IIR滤波器的特点及主要设计方法。§6-1IIR数字滤波器的特点及结构一、IIR滤波器的主要特点IIR滤波器的差分方程及系统函数分别为：（6-1）（6-2）这种系统结构中存在反馈环节，因此称为递归系统；又因为该系统的冲激响应h(n)是无限长序列，所以又称为无限冲激响应（InfiniteImpul

4、seResponse----IIR）系统。这种类型的滤波器有如下特点：（1）单位冲激响应h(n)是无限长序列可将IIR滤波器的系统函数展开成部分分式：单位冲激响应为；显然，其是无限长的。（2）系统函数H(z)在有限Z平面存在极点因此，存在稳定性问题。为了使系统是因果稳定的，需要使极点在单位园内。即，应采取措施使（3）结构上存在输出到输入的反馈可改进滤波器幅频特性，因此，阶数少，需要的存储单元数目及乘法运算次数少，系统的速度快，结构简单，适合对实时性高的场合。由于IIR滤波器具有上述特点，导致IIR滤波器在设计上具有如下特点：

5、1、阶数少、运算次数及存储单元都较少，适合应用于要求相位特性不严格的场合。2、有现成的模拟滤波器可以利用，设计方法比较成熟。3、是递归系统，存在稳定性问题。因此，设计时需要研究其稳定性。4、在相同阶数下，由有限字长效应引起的量化误差较大，并且其误差与其实现结构有关。二、无限冲激响应（IIR）数字滤波器的结构根据IIR的表示，IIR有4种基本结构：直接型（直接I型）结构、规范型结构（直接II型）、级联型结构和并联型结构。1直接型结构也叫直接I型结构（DirectformIstructure）。这种结构是直接通过差分方程得到的。

6、一个N阶的IIR滤波器的输入输出关系可以用如式（6-1）所示的N阶的差分方程来描述。把式（6-1）重写如下：从这个差分方程表达式可以看出，系统的输出y(n)由两部分构成：第一部分是一个对输入x(n)的M阶延时网络结构，把每节延时抽头后加权（加权系数是）相加，构成一个横向结构网络。第二部分是一个对输出y(n)的N阶延时的横向结构网络，是由输出到输入的反馈网络。这两部分相加构成输出y(n)，如图6-3所示。从图上可以看出，直接Ⅰ型结构由上述两部分网络级联而成，前一个实现零点，后一个实现极点，该结构需要M+N个延时单元和M+N+1

7、个乘法器，M+N个加法器。x(n)b0b1bM-1bMa1a2aN-1aNy(n)图6-1直接I型结构（DirectformIstructure）2规范型结构--Canonicformstructure（直接Ⅱ型,DirectformIstructure）规范型结构又称直接Ⅱ型结构。由图6-2，直接Ⅰ型结构的系统函数H(z)也可以看成是两个独立的系统函数的乘积。输入信号x(n)先通过系统H1(z)，得到中间输出变量y1(n)，然后再把y1(n)通过系统H2(z)得到输出信号y(n)。即（6-3）式中,，对应的差分方程为:，对

8、应的差分方程为：假设所讨论的IIR数字滤波器是线性移不变系统，显然交换H1(z)和H2(z)的顺序不会影响系统的输入输出关系，即若系统函数H(z)的分子阶数和分母阶数相等，即M=N时，其结构如图6-3所示。由图可见，输入信号x(n)先经过反馈网络H2(z)，得到中间输出变量然后，将y2(n