《牛顿二项式定理》word版

《《牛顿二项式定理》word版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、牛顿二项式定理目录二项式定理发现历程应用1.排列与组合2.二项式定理3.系数性质4.赋值法二项式的递推加法定理数形趣遇算式到算图二项式定理发现历程应用1.排列与组合2.二项式定理3.系数性质4.赋值法二项式的递推加法定理数形趣遇算式到算图展开编辑本段二项式定理　　    binomialtheorem　　二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664、1665年间提出。　　此定理指出：　　其中，二项式系数指...　　等号右边的多项式叫做二项展开式。　　二项展开式的通项公式为　　其i项系数可表示为:见图右，即n取i的组合数目。    因此系

2、数亦可表示为帕斯卡三角形(Pascal'sTriangle)　　二项式定理(BinomialTheorem)是指(a+b)n在n为正整数时的展开式。(a+b)n的系数表为：    1n=0　　11n=1　　121n=2　　1331n=3　　14641n=4　　15101051n=5　　1615201561n=6　　…………………………………………………………　　（左右两端为1，其他数字等于正上方的两个数字之和）编辑本段发现历程　　在我国被称为「贾宪三角」或「杨辉三角」，一般认为是北宋数学家贾宪所首创。它记载于杨辉的《详解九章算法》(1261)之中。

3、在阿拉伯数学家卡西的著作《算术之钥》(1427)中也给出了一个二项式定理系数表，他所用的计算方法与贾宪的完全相同。在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算术书的封面上刻有此图。但一般却称之为「帕斯卡三角形」，因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果。无论如何，二项式定理的发现，在我国比在欧洲至少要早300年。　　1665年，牛顿把二项式定理推广到n为分数与负数的情形，给出了的展开式。编辑本段应用　　二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用。排列与组合　　1、Cn0+Cn1+Cn2……Cnk……Cnn=2^n

4、　　2、Cno-Cn1+Cn2-Cn3+……(-1)^nCnn=0　　证明：由(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)*b+C(n,2)a^(n-2)*b^2+...+C(n,n)b^n　　当a=b=1时，代入二项式定理可证明1　　但a=-1，b=1时代入二项式定理可证明2　　二项式定理　　二项式定理:　叫二项式系数（0≤r≤n）.通项用Tr+1表示，为展开式的第r+1项，且,注意项的系数和二项式系数的区别.系数性质　　①对称性：　　②增减性和最大值：先增后减　　n为偶数时，中间一项的二项式系数最大，为：Tn/2＋1　　n为奇

5、数时，中间两项的二项式系数相等且最大，为：T(n+1)/2，T[(n+1)/2＋1]赋值法　　掌握“赋值法”这种利用恒等式解决问题的思想.　　证明：n个（a+b）相乘，是从（a+b）中取一个字母a或b的积。所以（a+b）^n的展开式中每一项都是)a^k*b^(n-k)的形式。对于每一个a^k*b^(n-k)，是由k个(a+b)选了a,（a的系数为n个中取k个的组合数（就是那个C右上角一个数，右下角一个数））。（n-k）个(a+b)选了b得到的（b的系数同理）。由此得到二项式定理。　　二项式系数之和:　　2的n次方　　而且展开式中奇数项二项式系数之和

6、等于偶数项二项式系数之和等于2的(n-1)次方　　二项式定理的推广：　　二项式定理推广到指数为非自然数的情况：　　形式为　　注意：

7、x

8、<1　　(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)*b+C(n,2)a^(n-2)*b^2+...+C(n,n)b^n编辑本段二项式的递推　　  推广公式二项式展开后各项的系数依次为：图——推广公式　　其中，第1个数=1，从第2个数开始，后面的每一个数都可以用前面的那个数表示为　　这就是二项式展开“系数递推”的依据.二项式系数递推实际上是组合数由到的递推.编辑本段加法定理　　来自二项式性质　　将

9、杨辉三角形中的每一个数，都用组合符号表示出来，　　则得图右的三角形.自然，“肩挑两数”的性质可写成组合的　　加法式.如　　这里，（1）相加两数和是“下标相等，上标差1”　　的两数；（2）其和是“下标增1，上标选大”的组合数.　　一般地，杨辉三角形中第n+1行任意一数，“肩挑　　两数”的结果为组合的加法定理：　　有了组合的加法定理，二项式(a+b)展开式的证明就变得非常简便了.编辑本段数形趣遇算式到算图　　二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学.求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题.用系数通项公式来计

10、算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”.　　【图算】常数项产生在展开后的第5、6两项.用“错位加法”很容易“加