高中数学 1.1.2 弧度制导学案 苏教版必修4

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1、1.1.2　弧度制学习目标重点难点1．记住弧度制的概念，能够熟练地进行角度与弧度间的换算．2．掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式.重点：角度与弧度之间的换算．难点：弧度制下的弧长公式与扇形的面积公式.1．弧度制与角度制(1)概念：①规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．②长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad.用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．(2)弧度与角度的换算：①360°＝2πrad；②1°＝rad≈0.01745rad；③1rad＝度≈57.30°.(3)特

2、殊角的弧度数与角度数：角度数0°15°30°45°60°75°90°105°120°135°150°180°弧度数0π预习交流1α＝k·360°＋(k∈Z)这种写法正确吗？为什么？提示：不正确．虽然弧度制与角度制都可度量角的大小，但单位不同，所以不能混用．2．弧长公式及弧度数与实数间的关系(1)扇形的弧长及面积公式：设扇形的半径为r，弧长为l，α为圆心角的弧度数，则l＝

3、α

4、r，扇形的面积S扇形＝rl＝

5、α

6、r2.(2)角的集合与实数集之间的关系：正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数为0.角的概念推广以后，在弧度

7、制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：即每一个角都对应惟一的一个实数(即这个角的弧度数)；反过来，每一个实数也都对应惟一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)．预习交流2(1)将化为角度制是__________，5rad是第__________象限角；(2)将54°化为弧度制是__________；(3)地球的赤道半径约为6370km，则赤道上1度的圆心角所对的弧长是__________，1弧度的圆心角所对的弧长是__________．提示：(1)75°　四　(2)　(3)km　6370km预习交流弧度制与角度制有何区

8、别与联系？提示：区别：(1)单位不同：弧度制是以“弧度”为单位，角度制是以“度”为单位；(2)进位制不同：弧度制是10进制，角度制是60进制；(3)单位“1”不同：弧度制中“1”代表长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，角度制中“1”代表周角的为1度的角．联系：(1)角度与弧度可以相互转化；(2)无论角度制还是弧度制，角的大小都是一个与半径无关的定值；(3)两种单位制下，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应关系.一、角度数与弧度数的换算将下列各角的弧度化为度，度化为弧度：(1)92°30′；(2)－1080°；(

9、3)－；(4)2.思路分析：对于角度与弧度之间的换算问题，解题的关键是要抓住π＝180°的关系，由比例关系得：弧度数＝度数×，度数＝弧度数×.解：(1)92°30′＝92.5°＝92.5×＝；(2)－1080°＝－1080×＝－6π；(3)－rad＝－×＝－70°；(4)2rad＝2×＝°.将下列各角的弧度化为度，度化为弧度：(1)－；(2)2160°；(3)－；(4)33°45′.解：(1)－rad＝－×＝－405°；(2)2160°＝2160×＝12π；(3)－rad＝－×＝－396°；(4)33°45′＝33.75°＝33

10、.75×＝.二、用弧度制表示终边相同的角将下列各角化成2kπ＋α(k∈Z)且0≤α＜2π的形式，并指出它们是第几象限角：(1)－1725°；(2).思路分析：先把－1725°化成k·360°＋α(k∈Z)的形式，再用弧度制表示．解：(1)∵－1725°＝－5×360°＋75°，∴－1725°＝－10π＋.∴－1725°角与角的终边相同．又角是第一象限角，∴－1725°角是第一象限角．(2)∵＝20π＋，∴角与角的终边相同．∴角是第三象限角．把下列各角化成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式，并指出它们是第几象限角：(1)－；

11、(2)1485°；(3)－4.解：(1)－＝－4π＋，是第三象限角．(2)1485°＝1485×＝＝8π＋，是第一象限角．(3)－4＝－2π＋(2π－4)，＜2π－4＜π，是第二象限角．在角度制中，所有与α终边相同的角可以写成α＋k·360°(k∈Z)的形式，而在弧度制中可以写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，0≤α＜2π，且α为弧度数；判断一个用弧度数表示的角所在的象限，一般是先将其化成2kπ＋θ(k∈Z,0≤θ＜2π)的形式，然后再根据θ所在的象限进行判断．三、与弧长和扇形面积有关的问题一扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各

12、取什么值时，才能使扇形面积最大？思路分析：→→→解：设扇形圆心角为θ，半径为r，则2r＋θ·r＝20.∴θ＝.∴S扇形＝θr2＝··r2＝(10－r)r＝－(r－5)2＋25(0＜r＜20)．∴当r＝5时，扇形面积的最大值为25.此时θ＝2.圆心角为60°的扇形