高考函数压轴题二次求导等

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1、二次求导【理·2010全国卷一第20题】已知函数.（Ⅰ）若，求的取值范围；（Ⅱ）证明：先看第一问，首先由可知函数的定义域为，易得则由可知，化简得，这时要观察一下这个不等式，显然每一项都有因子，而又大于零，所以两边同乘可得，所以有，在对求导有，即当＜＜时，＞0，在区间上为增函数；当时，；当＜时，＜0，在区间上为减函数。所以在时有最大值，即。又因为，所以。应该说第一问难度不算大，大多数同学一般都能做出来。再看第二问。要证，只须证当＜时，；当＜时，＞即可。由上知，但用去分析的单调性受阻。我们可以尝试再对求导，可得，显然当＜时，；当＜时，＞，即在区间上为减函数，所以有当＜时，，我们通过二

2、次求导分析的单调性，得出当＜时，则在区间上为增函数，即，此时，则有成立。下面我们在接着分析当＜时的情况，同理，当＜时，＞，即在区间上为增函数，则，此时，为增函数，所以，易得也成立。综上，得证。下面提供一个其他解法供参考比较。解：（Ⅰ），则题设等价于。令，则。当＜＜时，＞；当时，，是的最大值点，所以。综上，的取值范围是。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，即。当＜＜时，因为＜0，所以此时。当时，。所以比较上述两种解法，可以发现用二次求导的方法解题过程简便易懂，思路来得自然流畅，难度降低，否则，另外一种解法在解第二问时用到第一问的结论，而且运用了一些代数变形的技巧，解法显得偏而怪，同学们不易想出。不

3、妨告诉同学们一个秘密：熟炼掌握二次求导分析是解决高考数学函数压轴题的一个秘密武器！下面我们再看一道高考压轴题。【理·2010全国卷三第21题】设函数。（Ⅰ）若，求的单调区间；（Ⅱ）若当时，。求的取值范围。第一问没有任何难度，通过求导数来分析的单调即可。当，，令，得；当＜时，＜；当＞时，＞。所以在区间上为减函数，在区间上为增函数。第二问，其实第一问算是个提示，即当时，在区间上为增函数，故，显然满足题意。下面我们分别分析＜和＞两种情况。当＜时，在区间上显然，综上可得在区间上成立。故＜满足题意。当＞时，，，显然，，当在区间上大于零时，为增函数，，满足题意。而当在区间上为增函数时，，也就

4、是说，要求在区间上大于等于零，又因为在区间上为增函数，所以要求，即，解得。综上所述，的取值范围为。通过上面两道压轴题，我们已经领略了二次求导在分析高考数学函数压轴题的威力。再看看某些省市的函数题。【理·2010安徽卷第17题】设为实数，函数。（Ⅰ）求的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当＞且＞时，＞。第一问很常规，我们直接看第二问。首先要构造一个新函数，如果这一着就想不到，那没辙了。然后求导，结果见下表。，继续对求导得减极小值增由上表可知，而，由＞知＞，所以＞，即在区间上为增函数。于是有＞，而，故＞，即当＞且＞时，＞。2009辽宁理科已知函数，(Ⅰ)讨论函数的单调性(Ⅱ)证明：若，则对

5、任意，，有解析：根的大小不确定；利用结论证明不等式(Ⅰ)的定义域为（1）若，即时此时在单调增加（2）若，即时，1+0—0+↗极大值↘极小值↗所以，在，内单调递增；在内单调递减（3）若，即时+0—0+↗极大值↘极小值↗所以，在，内单调递增；在内单调递减(Ⅱ)考虑函数则由于，故，即在(0,+∞)单调增加不妨设时，则，即所以2010天津文科已知函数，其中(Ⅰ)若，求曲线在点处的切线方程；(Ⅱ)若在区间上，恒成立，求的取值范围解析：根的范围不确定；不等式恒成立(Ⅰ)当时，，则；，则所以在点处的切线方程为，即(Ⅱ)令，解得：；0+0—0+↗极大值↘极小值↗（1）若，即时在内单调递增；在内单

6、调递减所以，当时，等价于，即解得，所以（2）若，即时在，内单调递增；在内单调递减所以，当时，等价于，即解得或，所以综合（1）和（2），可知的取值范围为2008浙江理科已知是实数，函数(Ⅰ)求函数的单调区间(Ⅱ)设为在区间上的最小值(ⅰ)写出的表达式（ⅱ）求的取值范围，使得解析：根的存在不确定(Ⅰ)的定义域为，（1）若时，则，在区间上单调递增（2）若时，令，得—0+↘极小值↗所以，在内单调递减；在内单调递增(Ⅱ)(ⅰ)（1）当时，在上单调递增所以（2）若，即时，在内单调递减；在内单调递增所以（3）若，即，在上单调递减所以综上所述，（ⅱ）令．若，无解；若，解得；若，解得所以，的取值范

7、围为2010全国Ⅱ文科已知函数(Ⅰ)设，求的单调区间；(Ⅱ)设在区间中至少有一个极值点，求的取值范围解析：根的存在不确定(Ⅰ)当时，，+0—0+↗极大值↘极小值↗所以，在，内单调递增；在内单调递减(Ⅱ)，（1）当时，，为增函数，故无极值点；（2）当时，令，解得；因为在区间中至少有一个极值点，所以，或解得，所以的取值范围是2010天津理科已知函数(Ⅰ)求函数的单调区间和极值(Ⅱ)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明：当时，(Ⅲ)如果，且，证明：解析：不等式恒成立；利用结论证