高三数学大一轮复习讲义 专题四 数列的综合应用 理 新人教a版

《高三数学大一轮复习讲义 专题四 数列的综合应用 理 新人教a版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、专题四　数列的综合应用1．等比数列与等差数列比较表不同点相同点等差数列(1)强调从第二项起每一项与前一项的差；(2)a1和d可以为零；(3)等差中项唯一(1)都强调从第二项起每一项与前一项的关系；等比数列(1)强调从第二项起每一项与前一项的比；(2)a1与q均不为零；(3)等比中项有两个值(2)结果都必须是同一个常数；(3)数列都可由a1，d或a1，q确定2.数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等，需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题．数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、银行信贷、分期付款、合理定价等．3．解答数列应用题的基本步骤(1)审

2、题——仔细阅读材料，认真理解题意．(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征．(3)求解——求出该问题的数学解．(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．4．数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推关系，还是Sn与Sn＋1之间的递推关系．1．在等

3、比数列{an}中，an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，则a3＋a5的值为________．答案　5解析　设首项为a1，公比为q，则a1>0，q>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝aq4＋2aq6＋aq8＝aq4(1＋q2)2＝25.∴a1q2(1＋q2)＝5，∴a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(1＋q2)＝5.2．已知等差数列的公差d<0，前n项和记为Sn，满足S20>0，S21<0，则当n＝________时，Sn达到最大值．答案　10解析　∵S20＝10(a1＋a20)＝10(a10＋a11)>0，S21＝21a11<0，∴a10>0，a11<0，∴n＝10

4、时，Sn最大．3．设等差数列{an}的各项均为整数，其公差d≠0，a5＝6，若a3，a5，am(m>5)是公比为q(q>0)的等比数列，则m的值为________．答案　11解析　由题意，得a3＝6－2d，因为q＝＝，所以3－d＝；因为q大于零，所以3－d是大于零的整数，q＝.由题意知，数列{an}各项均为整数，故d，q均应为整数．当3－d>3,3－d∈Z时，q不为整数，故3－d只能取1,3.当3－d＝3时，d＝0，不满足条件；故3－d＝1，此时d＝2，q＝3，满足条件．所以q＝3，d＝2，因此6×3＝am＝6＋(m－5)×2，所以m＝11.4．设数列{an}是公差大于0的等差数列，

5、a3，a5分别是方程x2－14x＋45＝0的两个实根．则数列{an}的通项公式是an＝____________；若bn＝，则数列{bn}的前n项和Tn＝____________.答案　2n－1　2－解析　因为方程x2－14x＋45＝0的两个根分别为5、9，所以由题意可知a3＝5，a5＝9，所以d＝2，所以an＝a3＋(n－3)d＝2n－1.∵bn＝＝n·，∴Tn＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n·①∴Tn＝1×＋2×＋…＋(n－1)×＋n·②①－②得，Tn＝＋＋＋…＋＋－n·＝1－，所以Tn＝2－.5．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a

6、2)…(x－a8)，则f′(0)等于(　　)A．26B．29C．212D．215答案　C解析　f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)…(0－a8)＋0＝a1a2…a8.因为数列{an}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝212.题型一　等差数列与等比数列的综合应用例1　在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列{a

7、n}的通项an；(2)令bn＝2an－10，证明：数列{bn}为等比数列．审题视角　第(1)问列首项a1与公差d的方程组求an；第(2)问利用定义证明．(1)解　由an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50，得方程组解得∴an＝12＋(n－1)·2＝2n＋10.(2)证明　由(1)，得bn＝2an－10＝22n＋10－10＝22n＝4n，∴＝＝4，∴{bn}是首项是4，公比q＝4的等比数列．探究提高　对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等