高三数学大一轮复习讲义 3.2导数的应用(一) 理 新人教a版

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1、§3.2　导数的应用(一)2014高考会这样考　1.利用导数的有关知识，研究函数的单调性、极值、最值；2.讨论含参数的函数的单调性、极值问题．复习备考要这样做　1.从导数的定义和“以直代曲”的思想理解导数的意义，体会导数的工具作用；2.理解导数和单调性的关系，掌握利用导数求单调性、极值、最值的方法步骤．1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数

2、f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(

3、x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[难点正本　疑点清源]1．可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上

4、的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．2．f′(x)>0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件．3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．1．若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝________.答案　3解析　f′(x)＝＝.因为f(x)在x＝1处取极值，所以1是f′(x)＝0的根，将x＝1代入得a＝3.2．函数f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．答案　[－3，＋∞)解析　f′(x)＝3x2

5、＋a，f′(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝3x2＋a≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a≥－3x2在(1，＋∞)上恒成立．∴a≥－3.3.如图是y＝f(x)导数的图象，对于下列四个判断：①f(x)在[－2，－1]上是增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；③f(x)在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数；④x＝3是f(x)的极小值点．其中正确的判断是________．(填序号)答案　②③解析　①∵f′(x)在[－2，－1]上是小于等于0的，∴f(x)在[－2，－1]上是减函数；②∵f′(－1)＝0且

6、在x＝0两侧的导数值为左负右正，∴x＝－1是f(x)的极小值点；③对，④不对，由于f′(3)≠0.4．设函数g(x)＝x(x2－1)，则g(x)在区间[0,1]上的最小值为(　　)A．－1B．0C．－D.答案　C解析　g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表：x01g′(x)－0＋g(x)0极小值0所以当x＝时，g(x)有最小值g＝－.5．(2011·辽宁)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f

7、(x)>2x＋4的解集为(　　)A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)答案　B解析　设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，∵m′(x)＝f′(x)－2>0，∴m(x)在R上是增函数．∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴m(x)>0的解集为{x

8、x>－1}，即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞).题型一　利用导数研究函数的单调性例1　已知函数f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存

9、在，说明理由．思维启迪：函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论．解　f′(x)＝ex－a，(1)若a≤0，则f′(x)＝ex－a≥0，即f(x)在R上递增，若a>0，ex－a≥0，∴ex≥a，x≥lna.因此当a≤0时，f(x)的单调增区间为R，当a>0时，f(x)的单调增区间是[lna，＋