高中数学必修3《辗转相除法与更相减损术》教案

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1、《辗转相除法与更相减损术》教案教材：人教版普通高中课程标准实验教科书必修3第一章第1.3.1节.一．教学目标（1）知识目标：①理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析.②基本能根据程序框图与算法语句的知识设计完整的程序框图并写出算法程序.（2）能力目标：①培养学生把具体问题抽象转化为算法语言的能力.②培养学生自主探索和合作学习的能力.（3）情感目标：①通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献.②在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严

2、谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力.③创设和谐融洽的教学氛围，使学生在课堂活动中获得成功感，从而培养学生热爱数学、积极学习数学、应用数学的热情.二、教学重点、难点重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法.难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言.三、教学方法和手段教学方法：启发、引导、探究、讨论等.教学手段：多媒体辅助教学.四、教学用具:多媒体教学平台教具准备：多媒体课件（Powerpoint）、QB应用程序、课时讲义．五、授课类

3、型：新授课六、教学程序教学环节教学内容设计意图复习研究一个实际问题的算法，主要从算法步骤、程序框图和编写程序三方面展开.在程序框图中算法的基本逻辑结构有哪几种？在程序设计中基本的算法语句有哪几种？温习旧知，为新知识的学习做好铺垫.5引入课题问题1：求下面两个数的最大公约数：（1）34与17；（2）85与34；（3）204与85.问题2:你会求两个比较大的正整数的最大公约数吗？比如求8251与6105的最大公约数.先求两个简单数的最大公约数，再变大这两个数（其实这个思路是辗转相除法的逆过程），慢慢让学生体

4、会其中的最大公约数原理，由简单的例子让学生自己去探索规律，然后求两个较大数的最大公约数，通过问题的复杂化，引起学生的注意，进而产生学习新知解决疑问的欲望.辗转相除法例1．求两个正数8251和6105的最大公约数.（分析：8251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数.）解：8251＝6105×1＋2146显然8251与6105的公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也

5、是6105与2146的最大公约数.6105＝2146×2＋18132146＝1813×1＋3331813＝333×5＋148333＝148×2＋37148＝37×4＋0则37为8251与6105的最大公约数.利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0；第二步：若r0＝0，则n为m，n的最大公约数；若r0≠0，则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1；通过一个具体的实例，引出了用辗转相除法求最大公约数的算法，揭示了其蕴含的“递归”的数学思

6、想，同时，对问题进行一般化的延伸，得到相应的算法，又体现了数学中从特殊到一般的研究方法.5第三步：若r1＝0，则r0为m，n的最大公约数；若r1≠0，则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2；……依次计算直至rn＝0，此时所得到的rn-1即为所求的最大公约数.<练习>：利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数.设计的及时练习，让学生具体动手操作，既能使学生及时掌握知识点，也是让学生体会其中的递归数学思想.合作探究思考:用辗转相除法求两个正整数m，n（m>n）的最大公约数，它的关键

7、步骤是哪种逻辑结构?你能用自然语言描述它的算法步骤吗?试设计程序框图并写出程序.①多角度分析问题，加强综合运用知识能力.②通过小组合作探索设计算法，激发学生兴趣,体现了新课程倡导的自主学习，小组合作的教学理念.③渗透从具体到抽象的数学思想方法，体会递归的算法思想.更相减损术我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术.更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.例2.用更相减损术求98与63的最大公约数.解：由于63不是偶

8、数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，即：98－63＝3563－35＝2835－28＝728－7＝2121－7＝1414－7＝7所以，98与63的最大公约数是7.引用历史背景,激发学生的学习兴趣，培养爱国主义情操和民族自豪感.以例2为例具体介绍更相减损术算理,设计及时的练习,加深理解其算法特点.让学生自主探索，巧妙引导，发现其中规律，使教与学做到有机结合.5<练习>：用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数.自主探究探究：把更相减损