数列,导数,圆锥曲线综合题2014(含答案

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1、综合题1、设为数列的前项和，对任意的N，都有为常数，且．（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列的公比，数列满足，N，求数列的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列的前项和．2、已知函数满足且有唯一解。（1）求的表达式；（2）记，且＝，求数列的通项公式。（3）记，数列｛｝的前项和为，求证3、在数列中，，其中．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和；（Ⅲ）证明存在，使得对任意均成立．174、设数列（1）求数列的通项公式；（2）若存在实数t，使得数列的前项和为，证明：（3）设5、已知函数.(1)若在区间上

2、是增函数，求实数的取值范围；(2)若是的极值点，求在上的最大值；(3)在(2)的条件下，是否存在实数，使得函数的图象与函数的图象恰有个交点？若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，试说明理由．6、已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当m=1时，求方程f(x)=g(x)实数根个数；（3）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.177、已知函数（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）求证：当时，；（Ⅲ）如果，且，求证：．8、设函数(为自然对数的底数)，（）．（1）证明：；（2）当时，比较与的大小，并说明理由；（3）证

3、明：（）．179、已知椭圆的左，右两个顶点分别为、．曲线是以、两点为顶点，离心率为的双曲线．设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点．（1）求曲线的方程；（2）设、两点的横坐标分别为、，证明：；（3）设与（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围。10、设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E.（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;（2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;(3)已知,

4、设直线与圆C:(1

5、A1B1

6、取得最大值?并求最大值.171、解：（1）证明：当时，，解得．………………1分当时，．……………………………………………2分即．∵为常数，且，∴．………………………………………3分∴数列是首项为1，公比为的等比数列．…………………………………4分（2）解：由（1）得，，．……………………………5分∵，………………………………………………………………6分∴，即．……………………………………………7分∴是首项为，公差为1的

7、等差数列．……………………………………………8分∴，即（）．…………………………9分（3）解：由（2）知，则．……………………………10分所以，即，①……11分则，②……12分②－①得，………………………………13分故．……………………14分2、解：(1)由即有唯一解，又，……4分17(2)由…………6分又，数列是以首项为，公差为的等差数列……8分………10分(3)由…………12分=………14分3、（Ⅰ）解法一：，，．由此可猜想出数列的通项公式为．…………1分以下用数学归纳法证明．（1）当时，，等式成立．…………

8、2分（2）假设当时等式成立，即，那么．这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立．…………4分解法二：由，，可得，…………2分17所以为等差数列，其公差为1，首项为0，…………3分故，所以数列的通项公式为．…………4分（Ⅱ）解：设，　　　①　　　　　　　　②…………5分当时，①式减去②式，得，…………6分．…………7分这时数列的前项和．…………8分当时，．这时数列的前项和．……9分（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：．　　　　③…………10分由知，要使③式成立，只要，……

9、……11分因为…………12分．…………13分所以③式成立．因此，存在，使得对任意均成立．…………14分174、解：（1）由已知得（2）（3）5、解：(1)…………………………………………………………1分在是增函数，∴在上恒有，17即在上恒成立，…………………………………………2分则必有且，∴.………………………………………………4分(2)依题意，∴，…………………………………………………………5分∴、令得、……………6分当x变化时，变化情况…………………………………………………………………………8分∴在上的最大值

10、是.………………………………………………10分(3)函数的图象与函数的图象恰有个交点，即方程恰有个不等实根．…………………………………………11分∴，∴是其中一个根，……………………………………12分∴方程有两个非零不等实根．∴且∴且.………………………………………………14分∴存在满足条件的值，的取值范围是且.6、解：（1）时，、切点坐标为，∴切线方程为；…………………