《两个重要极限》word版

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1、1.6两个重要极限准则I如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件:(1)yn£xn£zn(n=1,2,3,×××),(2),,那么数列{xn}的极限存在,且.证明:因为,,以根据数列极限的定义,"e>0,$N1>0,当n>N1时,有

2、yn-a

3、0,当n>N2时,有

4、zn-a

5、N时,有

6、yn-a

7、

8、zn-a

9、N时,有a-e

10、xn-a

11、

12、e>0,$N>0,当n>N时,有

13、yn-a

14、

15、zn-a

16、

17、xn-a

18、

19、x

20、>M时有定义,准则I及准则I¢称为夹逼准则.下面根据准则I¢证明第一个重要极限

21、:.证明首先注意到,函数对于一切x¹0都有定义.参看附图:图中的圆为单位圆,BC^OA,DA^OA.圆心角ÐAOB=x(0

22、(x),则u®0,于是.,(a(x)®0).例1.求.解:.例2.求.解:=6..准则II单调有界数列必有极限.如果数列{xn}满足条件x1£x2£x3£×××£xn£xn+1£×××,就称数列{xn}是单调增加的;如果数列{xn}满足条件x1³x2³x3³××׳xn³xn+1³×××,就称数列{xn}是单调减少的.单调增加和单调减少数列统称为单调数列.如果数列{xn}满足条件xn£xn+1,nÎN+,在第三节中曾证明:收敛的数列一定有界.但那时也曾指出:有界的数列不一定收敛.现在准则II表明:如果数列不仅有界,并且是单调的,那么这数列的极限必定存在,也就是这数列一定收敛.准

23、则II的几何解释:单调增加数列的点只可能向右一个方向移动,或者无限向右移动,或者无限趋近于某一定点A,而对有界数列只可能后者情况发生.根据准则II,可以证明极限存在.设,现证明数列{xn}是单调有界的.按牛顿二项公式,有6,.比较xn,xn+1的展开式,可以看出除前两项外,xn的每一项都小于xn+1的对应项,并且xn+1还多了最后一项,其值大于0,因此xn

24、e=2.718281828459045×××.指数函数y=ex以及对数函数y=lnx中的底e就是这个常数.在极限中,只要a(x)是无穷小,就有.6这是因为,令,则u®¥,于是.,(a(x)®0).例3.求.解:令t=-x,则x®¥时,t®¥.于是.或.6