高一数学平面向量的数量积例题精析

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1、平面向量的数量积、平移·典型例题精析公式，可求a与b的夹角α．于是例2　已知a＋b=（2，－8），a－b=（－8，16），求a·b及a与b的夹角θ．【分析】与例1不同的是，题目给出平面向量的坐标表示，可由已知条件求出a，b的坐标，再用向量的数量积定义求解．【解】由a＋b=（2，－8），a－b=（－8，16），二式相加，解得a=（－3，4）；二式相减，解得b=（5，－12）．于是　a·b=（－3）×5＋4×（－12）=－63．求a，b的夹角θ也可用坐标表示式计算．【说明】如果知道两个向量的坐标，可直接求其夹角，不必利用定义去求模及数量积．例3　已知两个向量a=（3，4），b=（

2、2，－1），当a+xb与a－b垂直时，求x的值．【分析】利用已知向量a与b表示a+xb，a－b，根据向量垂直的充要条件，得到关于x的关系式．【解法一】∵（a+xb）⊥（a－b），∴（a+xb）·（a－b）=0．a·b=3×2＋4×（－1）=2，∴25+（x－1）×2－5x=0．【解法二】∵a=（3，4），b=（2，－1），∴a+xb=（3，4）+x（2，－1）=（2x+3，4－x），a－b=（3，4）－（2，－1）=（1，5）．由于（a+xb）⊥（a－b），∴（a+xb）·（a－b）=0，从而（2x+3）×1＋（4－x）×5=0，2x+3+20－5x=0，【说明】使用数量积的

3、知识解决问题时，应注意有使用向量式或坐标两种形式的思路．例4　平面内三点A，B，C在一条直线上，=（－2，m），=（n，1），=（5，－1），且⊥，求实数m，n的值．【分析】因为A，B，C三点共线，可由向量共线的充要条件得到关于m，n的一个关系式；又因为向量⊥，再由向量垂直的充要条件，得到关于m，n的第二个关系式．对这两个关系式联立求解即可．【解】∵A，B，C三点在一条直线上，∴向量与共线．于是，存在实数λ，使=λ．又=（－2，m），=（n，1），=（5，－1），∴=－=（7，－1－m），=－=（n+2，1－m）．∴（7，－1－m）=λ（n+2，1－m）．故有二式相除，消去λ

4、，得∴mn－5m+n+9=0．①又⊥，∴·=0，即　（－2）×n+m×1=0，m－2n=0．②由②得m=2n，代入①，得相应的　m=6，m=3．【说明】上面解法中，式①可由向量共线的坐标表达式求得，因为=（7，－1－m），＝（n＋2，1－m），与共线，所以7×（1－m）－（n＋2）（－1－m）=0，同样可以得到mn－5m+n+9=0．例5　平面内有向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），点X为直线OP上的一个动点．（1）当·取最小值时，求的坐标；（2）当点X满足（1）的条件和结论时，求cos∠AXB的值．【分析】因为点X在直线OP上，向量与共线，可以得到关于坐标的一个关

5、系式；再根据·的最小值，求得，而cos∠AXB是向量与夹角的余弦，利用数量积的知识容易解决．【解】（1）设=（x，y）．∵点X在直线OP上，∴向量与共线．又=（2，1），∴x×1－y×2=0，即　x=2y．∴=（2y，y）．又=－，OA=（1，7），∴=（1－2y，7－y）．同样=－=（5－2y，1－y）．于是·=（1－2y）（5－2y）+（7－y）（1－y）有最小值－8．此时=（4，2）．（2）当=（4，2），即y=2时，有=（－3，5），=（1，－1），·=（－3）×1＋5×（－1）=－8．【说明】由于X是OP上的动点，则向量，均是不确定的，它们的模和方向均是变化的，于是

6、它们的数量积·也处在不确定的状态，这个数量积由与的模

7、

8、与

9、

10、及它们的夹角三个要素同时决定，由解题过程即可以看出它们都是变量y的函数．另外，求出与的坐标后，可直接用坐标公式求这两个向量夹角的余弦值．例6　如图5－3－2，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，∠ABC=60°，自A向对角线BD引垂线，并延长交BC于E，求BE∶EC．【分析】由于BC=2AB，∠ABC=60°，可以、为基底表示图中的向量，其中⊥是最可利用的条件．又=－，，于是可建立m与n的关系式．【解】设=a，=c，BE∶EC=m∶n，则又=+=c+a，且⊥，∴·=0，∴4m－n－（m+n）=0．∴3m=2n．∴

11、m∶n=2∶3．故BE∶EC=2∶3．例7　如图5－3－3，在△ABC中，由A与B分别向对边BC与CA作垂线AD与BE，且AD与BE交于H，连结CH，用向量法证明CH⊥AB．【证法一】∵AD⊥BC，H在AD上，∴⊥．而=－，∴（－）·=0．∴·－·=0．①又⊥，∴·=0，即　（－）·=0，·－·=0．②注意到①，②式中·=·，故①－②，得·（－）=0，即　·（＋）=0，·=0．∴⊥，即　CH⊥AB．【证法二】如图5－3－4，在平面内任取一点O．∵=－，⊥，∴·=0，即　（－）·（－）=0．∴·（－）=·