高一数学平面向量的坐标运算例题精析

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1、本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn平面向量的坐标运算、线段的定比分点·典型例题精析 例1　平面内有三个已知点A(1，－2)，B(7，0)，C(－5，6)，求，，＋，－，2＋，－3．【分析】　本题涉及向量的坐标表示、向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算，均需正确掌握其运算法则．【解】∵A(1，－2)，B(7，0)，C(－5，6)，∴=(7－1，0＋2)=(6，2)，＝(－5－1，6＋2)=(－6，8)，＋＝(6－6，2＋8)＝(0，10)，－=(6＋6，2－8)＝(12，－6)，或　－==(7＋5，0－6)=(12，－6)．

2、=(12，4)＋(－3，4)＝(9，8)．－3=(6，2)－3(－6，8)=(6，2)－(－18，24)＝(6＋18，2－24)=(24，－22)，或　－3=(6，2)－3(－6，8)＝(6，2)＋(18，－24)＝(6＋18，2－24)=(24，－22)．例2　用坐标法证明＋＋＝0．【证明】　设A(a1，a2)，B(b1，b2)，C(c1，c2)，则=(b1－a1，b2－a2)，=(c1－b1，c2－b2)，=(a1－c1，a2－c2)，∴＋＋=(b1－a1，b2－a2)＋(c1－b1，c2－b2)＋(a1－c1，a2－c2)=(b1－a1＋c1－b1＋a1－

3、c1，b2－a2＋c2－b2＋a2－c2)=(0，0)．∴＋＋=0．【说明】　这个证明过程完全是三个点坐标的计算，无需考虑三个点A，B，C是共线还是不共线的位置关系．同时，对这个结论的更一般形式，即几个向量顺次首尾相接，组成一条封闭的折线，其和为零向量，也就不难理解了：例3　已知M(1，0)，N(0，1)，P(2，1)，Q(1，y)，且∥，求y的值．【分析】　先由已知点坐标分别求出向量及的坐标，再由向量平行的充要条件求解y．【解法一】　利用向量平行充要条件的坐标表达式．∵M(1，0)，N(0，1)，P(2，1)，Q(1，y)，∴＝(－1，1)，=(－1，y－1)

4、，∵∥，∴(－1)×(y－1)－1×(－1)＝0．解得　y=2．【解法二】　利用向量共线的定理．由已知∥，故有且仅有一个实数λ，使=λ．∵M(1，0)，N(0，1)，P(2，1)，Q(1，y)．∴＝(－1，1)，=(－1，y－1)，∴(－1，y－1)=λ(－1，1)，(－1，y－1)=(－λ，λ)．解得　λ＝1，y＝2．∴y=2．例4　已知△ABC的三个顶点的坐标为A(0，0)，B(4，0)，C(3，6)，边AB，BC，CA的中点分别为D，E，F，且△ABC的重心为G，求：【分析】　解此题可首先利用中点坐标公式分别求得各边中点D，E，F的坐标，再利用三角形重心G

5、的坐标公式求得G的坐标，最后利用平面向量坐标表示及运算法则计算所求的向量．【解】∵　A(0，0)，B(4，0)，C(3，6)，且D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，G为△ABC的重心，【说明】　本题中的(3)，(4)具有一般性，我们将在例5中作一般结论的推证，另外结论(3)与(4)本身有着必然的联系，因为G为△ABC的例5　如图5－2－2，在△ABC中，D，E，F分别为AB，【证明】　必要性．充分性．即　(m－k)＋(l＋m)＝0．由于与是不共线的，故m－k=0，且l＝m＝0，∴m＝k＝l．更为简捷：例6　如图5－2－3，在△ABC中，D，E，F分别为边BC

6、，【分析】　要证△ABC与△DEF的重心相同，实际上是证表示重心的两点重合，一种方法是利用向量相等，另一种方法是证明两个重心的坐标相同．【证法一】设△ABC的重心为G，△DEF的重心为G′，且设则对于平面内的任意一点O，有∴G与G′重合．故△ABC与△DEF的重心相同．【证法二】　设△ABC三点的坐标分别为A(a1，a2)，B(b1，b2)，C(c1，c2)，其重心G的坐标为(g1，g2)．△DEF三个顶点的坐标分别为D(d1，d2)，E(e1，e2)，F(f1，f`2)，其重心G′的坐标为(g′1，g′2)，则同理d2＋e2＋f2=a2＋b2＋c2．∴G与G′

7、重合．故△ABC与△DEF的重心相同．【证法三】利用例5的结论．设G为△ABC的重心，则设G′为△DEF的重心，则据例5的结论，可知∴△ABC与△DEF的重心相同．【说明】　证法一使用的是线段定比分点的向量式．证法二使用的是线段定比分点的坐标公式．而证法三，利用了三角形中两个重要的结论：G为△ABC重心＋＋=0；CA，AB上的点)．例7　如图5－2－4，在△ABC中，D为边BC上的点，且=k，E为DA上一点，且=l，延长BE交AC于F，求F分有向线段的比λ．故由此可解得λ．【解】　设=a，=c，分别将，，用，的线性组合表示．∵=k，又=l，又由F分有向线段的比为

8、λ，即=λ，可知又　B，