高二数学不等式的证明

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1、高二数学不等式的证明(二)　　[本周学习内容]不等式证明中的综合证明方法：　　1.换元法：通过适当的换元，使问题简单化，常用的有三角换元和代数换元。　　2.放缩法：理论依据：a>b,b>ca.c，找到不等号的两边的中间量，从而使不等式成立。　　3.反证法：理论依据：命题“p”与命题“非p”一真、一假，　　证明格式　　[反证]：假设结论“p”错误，“非p”正确，开始倒推，推导出矛盾(与定义，定理、已知等等矛盾)，从而得到假设不正确，原命题正确。　　4.数学归纳法：这是一种利用递推关系证明与非零自然数有关的命题，可以是等式、不等式、命题。　　证明格式：

2、　　(1)当n=n0时，命题成立；　　(2)假设当n=k时命题成立；　　则当n=k+1时，证明出命题也成立。　　由(1)(2)知：原命题都成立。　　[本周教学例题]　　一、换元法：　　1.三角换元：　　例1.求证：　　证一：(综合法)　　　　即：　　证二：(换元法)∵-1≤x≤1∴令x=cos,[0,π]　　则　　∵-1≤sin2≤1　　例2.已知x>0，y>0，2x+y=1，求证：　　分析：由于条件给出了x>0，y>0，2x+y=1，故如何使用2x+y=1这一特点是解决问题的重要环节。由本题中x>0，y>0,2x+y=1的条件也可用三角代换。　　

3、证一：　　证二：由x>0,y>0，2x+y=1，可设　　则　　　　例3.若x2+y2≤1，求证：　　证：设　　则　　　　例4.若x>1，y>1，求证：　　证：设　　则　　例5.已知：a>1,b>0，a-b=1，求证：　　证：∵a>1,b>0,a-b=1，∴不妨设　　则　　　　　　小结：若0≤x≤1，则可令　　若x2+y2=1，则可令x=cos，y=sin(0≤θ<2π)　　若x2-y2=1，则可令x=sec,y=tan(0≤θ<2π)　　若x≥1，则可令，若xR，则可令　　2.代数换元：　　例6：证明：若a>0，则　　证：设　　则　　　　　　即　　

4、∴原式成立　　小结：还有诸如“均值换元”“设差换元”的方法。　　二、放缩法：　　例7.若a,b,c,dR+，求证：　　证：记　　∵a,b,c,dR+　　　　　　∴12时，求证：logn(n-1)logn(n+1)<1　　证：∵n>2∴logn(n-1)>0，logn(n+1)>0　　　　∴n>2时，logn(n-1)logn(n+1)<1　　例9.求证：　　证：　　　　三.反证法　　例10.设0

5、,b,c<1　　同理：　　以上三式相乘：与①矛盾　　∴原式成立　　例11.已知a+b+c+>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a,b,c>0　　证：设a<0，∵abc>0，∴bc<0　　又由a+b+c>0，则b+c=-a>0　　∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0与题设矛盾　　又：若a=0，则与abc>0矛盾，∴必有a>0　　同理可证：b>0，c>0　　四.构造法：　　1.构造函数法　　例12.已知x>0，求证：　　证：构造函数　　由　　显然　　∴上式>0　　∴f(x)在上单调递增，∴左边　　例13.求证：　　证：设　　用定义法可证

6、：f(t)在上单调递增，　　令：3≤t10　　则有两个实根。　　　　例15.求证：　　证：设　　当y=1时，命题显然成立，　　当y≠1时，△=(y+1)2-4(y-1)2=(3y-1)(y-3)≥0　　　　综上所述，原式成立。(此法也称判别式法)　　例16.已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均为正，求证：xy≥ac+bd　　证一：(分析法)∵a,

7、b,c,d,x,y都是正数　　∴要证：(xy)≥ac+bd　　只需证　　即：(a2+b2)(c2+d2)≥a2c2+b2d2+2abcd　　展开得：a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd　　即：a2d2+b2c2≥2abcd　　由基本不等式，显然成立　　∴xy≥ac+bd　　证二：(综合法)　　　　证三：(三角代换法)　　∵x2=a2+b2，∴不妨设　　y2=c2+d2　　　　五.数学归纳法：　　例17.求证：设nN，n≥2，求证：　　分析：关于自然数的不等式常可用数学归纳法进行证明。　　证：当n=2时，左边，易得：

8、左边>右边。　　当n=k时，命题成立，即：成立。　　当n=k+1时，左边　　又；且4(k+1)2>(2k+3)(2k+1)