高教社杯全国大学生数学建模竞赛(1)

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1、2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题　车灯线光源的优化设计　参考答案A题　车灯线光源的优化设计　　安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方,其开口半径36毫米，深度21.6毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。　　该设计规范在简化后可描述如下。在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6米。要求C点的光强

2、度不小于某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。　　请解决下列问题：　　（1）在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。　　（2）对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。　　（3）讨论该设计规范的合理性。　　注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。四.反射光亮区的计算　　分别将线光源和车灯反射面离散化为点光源和面元的集合，计算每一点光源关于每一车灯反射面元的反射光线，判断其是否与车灯反射面相交，若相交，一次反射光不

3、能到达测试屏，否则求出该反射光线与反射屏平面的交点，即为反射亮点。所有这些亮点的集合即为反射光亮区。亮区的上半部分由下图所示(横坐标为x轴，纵坐标为y轴，单位为mm),下半部分与上半部分是关于x轴对称的。汽车前照灯线光源的优化设计（2）　　汽车前照灯分为"近"和"远"两个档位，"近光"的距离取的是汽车前照灯正前方的一恒定距离（国际通用的标准为25米远）。汽车的配光性能可以通过在接收屏上测光强等手段来衡量。针对一个已经提出配光性能要求的汽车前照灯光源设计问题，本文提出了"双向蒙特卡罗方法"，此方法能够大大节省计算量，使计算量至少降低了一个数量级（具体数据见正

4、文中第五部分的表格）；同时，在具体求解时还根据题目特点，使用了进一步优化计算的逆向蒙特卡罗法。　　计算接收屏上定接收点的能量时采用蒙特卡罗光能算法：将光源发出的光束细分为光线后，对每条光线依据反射定理及空间解析几何等有关知识，计算出此条光线最终是否落在屏上的定点，以此统计屏上定点的光线数目。　　计算线光源最小功率时建立了优化模型：　　　　　　线光源能量P等于其功率密度h与长度a的乘积，使其最小是第一个目标，另外一个目标是k＝EB/EC在大于2倍的前提下与2尽量接近,这里EB、EC分别表示B、C两点上的光能量。在此两个目标值的基础上兼顾到对实际生产有意义的光

5、源长度精度值限制，求出了最优长度为3.90mm。　　根据几何光学的光路可逆原理，进行光路的逆转，将原来的线光源与接收屏上的点转变为线接收器与点光源，此时在线光源与接收屏上的点之间建立了"联系"的光线，虽然能量分布产生了变化，但边界点的轨迹是不变的。即：如果把屏上点N当作点光源时没有光线照射到线接收器上，那么线光源发出的光也就不会落在点N上。这样用逆向蒙特卡罗法计算出所有这种点的集合，其补集即为所求亮区域。　　本文对模型的计算量简化程度进行了定性分析，验证了模型的合理性，并以此论证了采用双向光路追迹的意义，又对第二个问题进行了扩展，仍然使用双向蒙特卡罗法，求

6、出了总的屏上光能量分布情况，并绘制了等高线描述的光能量分布图，对总光能分布的特点进行了详细的分析。　　特别地，本文在最后讨论了模型在实际生产中的应用与变化，从结构、质地、物理性质等方面指出了模型适用性与有待改进的地方，增强了模型的实用性。汽车前照灯线光源的优化设计（3）一、问题重述　　安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方,其开口半径36毫米，深度21.6毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。　　该设计规范在简化后可描述如下。在焦点F

7、正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6米。要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。　　请解决下列问题：　　（1）在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。　　（2）对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。　　（3）讨论该设计规范的合理性。二、模型假设　　1、反射面上无能量损耗。　　2、根据汽车制造业的惯例，车灯设计中只使用几

8、何光学的光路追迹法，物理光学理论中的干涉衍射及色散等因素对光能量的