常微分方程与差分方程知识点

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1、常微分方程与差分方程知识点考试纲要常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程微分方程的简单应用差分与差分方程的概念差分方程的通解与特解一阶常系数线性差分方程考试要求1、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念2、掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法3、会解二阶常系数齐次线性微分方程4、了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程5、了解差分与差分方程及其通解与特解等

2、概念6、了解一阶常系数线性差分方程的求解方法7、会用微分方程求解简单的经济应用问题重要知识点1、微分方程通解中任意常数的个数与微分方程的阶数相同2、变量可分离微分方程解法→→3、齐次微分方程解法→设→→再用代替附：可化为齐次的方程4、一阶线性微分方程解法个人总结：对于，首先计算，通解为5、线性微分方程解的性质及解的结构定理定理1：如果函数与是方程的两个解，那么也是该方程的解，其中是任意常数（不一定是通解）定理2：如果函数与是方程的两个线性无关的特解，那么（是任意常数）是该方程的通解定理3：设是二阶非齐次线性方程的一个特解，是该方程对应的齐次方程的通解，那么是该二阶非齐次线性方程的通解定理

3、4（叠加原理）：设齐次线性方程的可以分解为两个函数的和，即，而与分别是方程与的特解，那么就是原方程的特解6、二阶常系数齐次线性微分方程的解法二阶常系数齐次线性微分方程的求解步骤：第一步：写出特征方程；第二步：求特征方程的两根；第三步：根据根的情况，按下表写出通解根的情况通解两个不相等实根两个相等实根一对共轭复根7、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法二阶常系数非齐次线性微分方程待定系数法求特解（1）特解形式：不是特征方程的根，是特征方程的单根，是特征方程的重根，（2）特解形式：，不是特征方程的根，是特征方程的单根，个人总结：自由项为多项式，自由项为指数函数，自由项为正弦函数，特解设为自由项

4、为余弦函数，特解设为8、一阶常系数差分方程的概念及一般形式含有自变量、自变量的未知函数及其差分的方程，称为差分方程。一阶常系数线性差分方程的一般形式为：，其中常数。对应的齐次方程为9、一阶常系数差分方程的通解与特解齐次方程的通解为，其中是一个任意常数。若给定初始条件，则即为满足该初始条件的特解。对于非齐次方程，其通解也是非齐次方程的一个特解与对应齐次方程通解之和。即：。10、几种常见情形下非齐次方程特解所具有的形式的形式方程中系数的取值特解的形式其中是次多项式其中常数其中，是常数，且上表特解中是待定系数的次多项式，是两个待定系数。【注】或时，可归结为前两种情况来设定特解形式。