高三数学一轮复习资料 第九编 解析几何 9.8 抛物线（教案） 理

《高三数学一轮复习资料 第九编 解析几何 9.8 抛物线（教案） 理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、高三数学（理）一轮复习教案第九编解析几何总第50期§9.8抛物线基础自测1.设a≠0,a∈R，则抛物线y=4ax2的焦点坐标为.答案2.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为.答案43.抛物线y2=24ax(a＞0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为.答案y2=8x4.（2008·重庆文）若双曲线=1的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为.答案45.（2008·全国Ⅱ文，15）已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，A、B是抛物线C上的两个点，线段AB的中点为M（2，2），则△ABF的面积等于.答案2例题精讲例1已知抛物线y2=2x

2、的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2），求

3、PA

4、+

5、PF

6、的最小值，并求出取最小值时P点的坐标.解将x=3代入抛物线方程y2=2x，得y=±.∵＞2，∴A在抛物线内部.设抛物线上点P到准线l：x=-的距离为d，由定义知

7、PA

8、+

9、PF

10、=

11、PA

12、+d，当PA⊥l时，

13、PA

14、+d最小，最小值为，即

15、PA

16、+

17、PF

18、的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2=2x，得x=2，∴点P坐标为（2，2）.例2已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点A（m,-3）到焦点F的距离为5，求m的值，并写出此抛物线的方程.解①若抛物线开口方向向下，设抛物线方程为x2=-2py(p

19、＞0)，这时准线方程为y=,由抛物线定义知-(-3)=5,解得p=4,∴抛物线方程为x2=-8y,这时将点A（m,-3）代入方程，得m=±2.②若抛物线开口方向向左或向右，可设抛物线方程为y2=2ax(a≠0)，从p=

20、a

21、知准线方程可统一成x=-的形式，于是从题设有，解此方程组可得四组解,,，.∴y2=2x,m=；y2=-2x,m=-；y2=18x,m=；y2=-18x,m=-.例3（2008·山东理，22改编）如图所示,设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为直线y=-2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B.(1)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列；(2)已知当M点的

22、坐标为(2,-2p)时,

23、AB

24、=4.求此时抛物线的方程.(1)证明由题意设A,B,x1＜x2,M.由x2=2py得y=,则y′=,所以kMA=,kMB=.因此,直线MA的方程为y+2p=(x-x0),直线MB的方程为y+2p=(x-x0).所以,+2p=(x1-x0),①+2p=(x2-x0).②由①、②得=，因此，x0=，即2x0=.所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.（2）解由（1）知，当x0=2时，将其代入①、②，并整理得：x-4x1-4p2=0，x-4x2-4p2=0，所以，x1、x2是方程x2-4x-4p2=0的两根，因此，x1+x2=4，x1x2=-4p2，又kAB===，所

25、以kAB=.由弦长公式得

26、AB

27、==.又

28、AB

29、=4，所以p=1或p=2，因此所求抛物线方程为x2=2y或x2=4y.巩固练习1.（2008·辽宁理，10）已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为.答案2.已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴正半轴上，设A、B是抛物线C上的两个动点（AB不垂直于x轴），但

30、AF

31、+

32、BF

33、=8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q（6，0），求此抛物线的方程.解设抛物线的方程为y2=2px(p＞0),其准线为x=-.设A（x1,y1）,B(x2,y2),∵

34、AF

35、+

36、BF

37、=8，∴x1++x2+

38、=8，即x1+x2=8-p.∵Q（6，0）在线段AB的中垂线上，∴

39、QA

40、=

41、QB

42、.即(x1-6)2+y12=(x2-6)2+y22,又y12=2px1,y22=2px2,∴(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0.∵AB与x轴不垂直，∴x1≠x2,故x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0,即p=4.从而抛物线的方程为y2=8x.3.已知以向量v=为方向向量的直线l过点，抛物线C：y2=2px（p＞0）的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上.（1）求抛物线C的方程；（2）设A、B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m,直线OB与直线m交于点N，若·+p2=0（O为原

43、点，A、B异于原点），试求点N的轨迹方程.解（1）由题意可得直线l的方程为y=x+,①过原点垂直于l的直线方程为y=-2x.②解①②得x=-.∵抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上，∴-=-×2,p=2.∴抛物线C的方程为y2=4x.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),N(x,y),由题意知y=y1.由·+p2=0，得x1x2+y1y2+4=0,又y12=4x1,y22=4x2,解得y1y