专题函数与导数综合题的解答(学生

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1、专题 函数与导数综合题的解答高考分析1.本专题在高考中的地位导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,所以在历届高考中,对导数的应用的考查都非常突出2.本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.热点一  用导数

2、研究函数的性质 函数是高中数学的重点内容,而函数的性质又是高考命题的热点,用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便得多,并且具有普遍的适用性.例1(2012·高考北京卷)已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;(2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1]上的最大值.【审题】 (1)在交点(1,c)处有公共切线,隐含(1,c)为切点,可考虑f′(

3、1)与g′(1).f(1)与g(1)的关系.(2)构造函数h(x)=f(x)+g(x),求h′(x)>0,h′(x)<0的x的范围,继而求(-∞,-1]上的最大值.【转化】 (1)中题意转化为.(2)中转化为求h′(x)>0,h′(x)<0的解由极值求最值.热点二  恒成立及求参数范围问题 恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解,若不能分离参数,可以将参数看成函数表达式中的常量,利用函数性质求解.例2(2012·高考天津卷改编)已知函数f(x)=x-ln(x+a)的最小值为0,其中a

4、>0.(1)求a的值;(2)若对任意的x∈[0,+∞),有f(x)≤kx2成立,求实数k的最小值.【审题】 (1)根据极值与最值的关系,可求a.(2)中,f(x)≤kx2对于x∈[0,+∞)是恒成立.而已知f(x)min=0,讨论k的取值.【转化】 (1)已知f(x)min=0转化求f(x)min用a表示.(2)f(x)≤kx2恒成立转化为f(x)-kx2≤0恒成立求解.热点三  导数、函数与不等式 用导数的方法研究与函数有关的不等式问题,是巧妙地构造函数,然后这个函数的单调性、极值、最值及特殊点的

5、函数值,结合不等式的性质来解决.例3(2012·高考辽宁卷)设f(x)=lnx+-1,证明:(1)当x>1时,f(x)<(x-1);(2)当1<x<3时,f(x)<.【审题】 本题涉及f(x)的不等式,可以构造形如f(x)-φ(x)的函数来证明.【转化】 (1)当x>1,所证f(x)<(x-1)转化为f(x)-(x-1)<0证明.(2)当1<x<3,f(x)<转化为f(x)-<0,证明.热点四  利用导数识别函数图象 给出函数解析式描绘或者识别其图象.除根据一般方法研究其性质外,求导也有独到的技巧.

6、(2011·高考山东卷)函数y=-2sinx的图象大致是(  )【审题】 此函数不是一般的初等函数,根据简单的性质不易识别其图象.为了确定其单调性的变化.转化:函数y=-2sinx与x轴的交点转化y=sinx与y=的图象的交点.单调性转化为求y′>0,y′<0的x的范围.课后练习1.(2013·东北三校联合模拟)已知函数f(x)=(1+x)lnx.(1)求f(x)在x=1处的切线方程;(2)设g(x)=f(x),对任意x∈(0,1),g(x)<-2.求实数a的取值范围.2.(2013·海淀区期末)已

7、知函数f(x)=ex(x2+ax-a),其中a是常数.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求f(x)在区间[0,+∞)上的最小值.3.(2013·山西高考训练)已知函数f(x)=-xlnx,g(x)=-alnx,a≠0.(1)当a=-1时,求函数F(x)=g(x)-的单调区间;(2)当a>0时,x∈[1,+∞),f(x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围.4.(2013·潍坊三模)已知函数f(x)=,g(x)=e(1-a)x(1)若曲线f(x)在点(1,f(

8、1))处的切线与直线x-3y+1=0平行,求实数a的值;(2)当0<a<1时,求函数F(x)=f(x)-g(x)在x∈(0,1]上的值域.5.(2013·济南市模拟)已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为常数,设e为自然对数的底数.(1)当a=-1时,求f(x)的最大值;(2)若f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求a的值;(3)当a=-1时,试推断方程

9、f(x)

10、=+是否有实数解.1解:(1)由题意知函数f(x)的定义域为(0,+∞),∵f′(x)=lnx+

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1、专题 函数与导数综合题的解答高考分析1.本专题在高考中的地位导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,所以在历届高考中,对导数的应用的考查都非常突出2.本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.热点一  用导数

2、研究函数的性质 函数是高中数学的重点内容,而函数的性质又是高考命题的热点,用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便得多,并且具有普遍的适用性.例1(2012·高考北京卷)已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;(2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1]上的最大值.【审题】 (1)在交点(1,c)处有公共切线,隐含(1,c)为切点,可考虑f′(

3、1)与g′(1).f(1)与g(1)的关系.(2)构造函数h(x)=f(x)+g(x),求h′(x)>0,h′(x)<0的x的范围,继而求(-∞,-1]上的最大值.【转化】 (1)中题意转化为.(2)中转化为求h′(x)>0,h′(x)<0的解由极值求最值.热点二  恒成立及求参数范围问题 恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解,若不能分离参数,可以将参数看成函数表达式中的常量,利用函数性质求解.例2(2012·高考天津卷改编)已知函数f(x)=x-ln(x+a)的最小值为0,其中a

4、>0.(1)求a的值;(2)若对任意的x∈[0,+∞),有f(x)≤kx2成立,求实数k的最小值.【审题】 (1)根据极值与最值的关系,可求a.(2)中,f(x)≤kx2对于x∈[0,+∞)是恒成立.而已知f(x)min=0,讨论k的取值.【转化】 (1)已知f(x)min=0转化求f(x)min用a表示.(2)f(x)≤kx2恒成立转化为f(x)-kx2≤0恒成立求解.热点三  导数、函数与不等式 用导数的方法研究与函数有关的不等式问题,是巧妙地构造函数,然后这个函数的单调性、极值、最值及特殊点的

5、函数值,结合不等式的性质来解决.例3(2012·高考辽宁卷)设f(x)=lnx+-1,证明:(1)当x>1时,f(x)<(x-1);(2)当1<x<3时,f(x)<.【审题】 本题涉及f(x)的不等式,可以构造形如f(x)-φ(x)的函数来证明.【转化】 (1)当x>1,所证f(x)<(x-1)转化为f(x)-(x-1)<0证明.(2)当1<x<3,f(x)<转化为f(x)-<0,证明.热点四  利用导数识别函数图象 给出函数解析式描绘或者识别其图象.除根据一般方法研究其性质外,求导也有独到的技巧.

6、(2011·高考山东卷)函数y=-2sinx的图象大致是(  )【审题】 此函数不是一般的初等函数,根据简单的性质不易识别其图象.为了确定其单调性的变化.转化:函数y=-2sinx与x轴的交点转化y=sinx与y=的图象的交点.单调性转化为求y′>0,y′<0的x的范围.课后练习1.(2013·东北三校联合模拟)已知函数f(x)=(1+x)lnx.(1)求f(x)在x=1处的切线方程;(2)设g(x)=f(x),对任意x∈(0,1),g(x)<-2.求实数a的取值范围.2.(2013·海淀区期末)已

7、知函数f(x)=ex(x2+ax-a),其中a是常数.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求f(x)在区间[0,+∞)上的最小值.3.(2013·山西高考训练)已知函数f(x)=-xlnx,g(x)=-alnx,a≠0.(1)当a=-1时,求函数F(x)=g(x)-的单调区间;(2)当a>0时,x∈[1,+∞),f(x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围.4.(2013·潍坊三模)已知函数f(x)=,g(x)=e(1-a)x(1)若曲线f(x)在点(1,f(

8、1))处的切线与直线x-3y+1=0平行,求实数a的值;(2)当0<a<1时,求函数F(x)=f(x)-g(x)在x∈(0,1]上的值域.5.(2013·济南市模拟)已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为常数,设e为自然对数的底数.(1)当a=-1时,求f(x)的最大值;(2)若f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求a的值;(3)当a=-1时,试推断方程

9、f(x)

10、=+是否有实数解.1解:(1)由题意知函数f(x)的定义域为(0,+∞),∵f′(x)=lnx+

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