专题函数与导数综合题的解答(教师

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1、专题　函数与导数综合题的解答1.本专题在高考中的地位导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出2．本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．热点一　　用导数研究函数的性质　函数是高中数学的重点内容，而函数的性质又是高考命题的热点，用导数研究函数的性

2、质比用初等方法研究要方便得多，并且具有普遍的适用性．例1(2012·高考北京卷)已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．【审题】　(1)在交点(1，c)处有公共切线，隐含(1，c)为切点，可考虑f′(1)与g′(1)．f(1)与g(1)的关系．(2)构造函数h(x)＝f(x)＋g(x)，求h′(x)＞0，h′(x)＜0的x的范围，继而求(－∞，－1]上的最大值．【转化】　(

3、1)中题意转化为.(2)中转化为求h′(x)＞0，h′(x)＜0的解由极值求最值．【解】　(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b，因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)．即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b.解得a＝3，b＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)，当b＝a2时，h(x)＝x3＋ax2＋a2x＋1，h′(x)＝3x2＋2ax＋a2.令h′(x)＝0，得x1＝－，x2＝－.a＞0时，h(x)与h′(x)的变化情况如下：x－－h′(x)＋00＋h(x)所以函数h(x)的单调

4、递增区间为和；单调递减区间为.当－≥－1，即0＜a≤2时，函数h(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h(－1)＝a－a2.当－＜－1，且－≥－1，即2＜a≤6时，函数h(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h＝1.当－＜－1，即a＞6时，所以h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h＝1.函数h(x)在区间(－∞，－)上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，又因为h－h(－1)＝1－a＋a2＝(a－2)2＞0，【反思】　本题考查了导数的运算性质，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性及最

5、值的方法．利用列表法，研究h′(x)的正负及单调区间一目了然．求最值时，要考虑极值点，－，－与区间(－∞，－1]的关系，所以分类讨论来确定最值．热点二　　导数、函数与不等式　用导数的方法研究与函数有关的不等式问题，是巧妙地构造函数，然后这个函数的单调性、极值、最值及特殊点的函数值，结合不等式的性质来解决．例2(2012·高考辽宁卷)设f(x)＝lnx＋－1，证明：(1)当x＞1时，f(x)＜(x－1)；(2)当1＜x＜3时，f(x)＜.【审题】　本题涉及f(x)的不等式，可以构造形如f(x)－φ(x)的函数来证明．【转化】　(1)当x＞1，所证f(x)＜(x－1)转化为f(x)－(

6、x－1)＜0证明．(2)当1＜x＜3，f(x)＜转化为f(x)－＜0，证明．【证明】　(1)法一：记g(x)＝lnx＋－1－(x－1)，则当x＞1时，g′(x)＝＋－＜0.又g(1)＝0，所以有g(x)＜0，即f(x)＜(x－1)．法二：当x＞1时，2＜x＋1，故＜＋.①令k(x)＝lnx－x＋1，则k(1)＝0，k′(x)＝－1＜0，故k(x)＜0，即lnx＜x－1.②由①②得，当x＞1时，f(x)＜(x－1)．(2)法一：记h(x)＝f(x)－，由(1)得h′(x)＝＋－＝－＜－＝.令G(x)＝(x＋5)3－216x，则当1＜x＜3时，G′(x)＝3(x＋5)2－216＜0，因

7、此G(x)在(1,3)内是减函数．又由G(1)＝0，得G(x)＜0，所以h′(x)＜0.因此h(x)在(1,3)内是减函数．又h(1)＝0，所以h(x)＜0.于是当1＜x＜3时，f(x)＜.法二：记h(x)＝(x＋5)f(x)－9(x－1)，则当1＜x＜3时，由(1)得h′(x)＝f(x)＋(x＋5)f′(x)－9＜(x－1)＋(x＋5)·－9＝[3x(x－1)＋(x＋5)(2＋)－18x]＜＝(7x2－32x＋25)＜0.因此h(x)在(1,3)内单调递减．又h(1