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1、圆与方程知识点1、圆的标准方程：圆心C(a,b),半径为r2、圆的一般方程：3圆的标准方程：圆心是点(a,b)，半径为r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，其参数方程为（θ为参数）。表示圆，圆心C（）半径为表示点（）不表示任何图形3、点与圆的关系的判断方法：（1）圆方程为标准式点在圆外点在圆上点在圆内（2）圆方程为一般式点在圆外点在圆上点在圆内4、直线：与圆的位置关系判断方法（1）求出圆的半径，圆心到直线的距离为直线与圆相离直线与圆无交点直线与圆相切直线与圆有一交点直线与圆相交直线与圆有两交
2、点（2）将直线方程代入圆的方程消元变成一元二次方程，求出判别式直线与圆相离直线与圆无交点直线与圆相切直线与圆有一交点直线与圆相交直线与圆有两交点5、圆与圆的位置关系判断方法求出圆心距，两圆的半径圆与圆相离有4条公切线圆与圆外切有3条公切线圆与圆相交有2条公切线圆与圆内切有1条公切线圆与圆内含有0条公切线6、过点求圆的切线方程（1）点在圆上圆的方程为，切线方程圆的方程为，切线方程圆的方程为，切线方程（2）点在圆外，设直线方程为即由圆心到直线的距离求出（过圆外一点作圆的切线有2条）7、圆与圆相交，则公共弦的直
3、线方程为公共弦长，半径，圆心到弦的距离（弦心距）满足关系式：8、圆与圆相交，过两圆交点的圆系方程可设为或9、圆与圆点M在圆上，点N在圆上，则有（相交，相切），（相离）（内含）11、空间直角坐标系（1）点M对应着唯一确定的有序实数组，、、分别是P、Q、R在、、轴上的坐标（2）有序实数组，对应着空间直角坐标系中的一点12、点与点的中点坐标为距离圆的标准方程（1）已知圆的参数方程是(0≤θ＜2π）若圆上一点M的坐标为(4,-4)，则M所对应的参数θ的值为.分析：将点M的坐标代入参数方程分别求得sinθ,cosθ
4、的值，由此求θ的值.解：将点M（4，-4）代入得又∵0≤θ＜2π,∴θ=.答案：(2)已知圆的参数方程为,则它的普通方程为.分析：由参数方程解得cosθ、sinθ的表达式，由cos2θ+sin2θ=1求出x与y的关系式，即可求得.解：由得由cos2θ+sin2θ=1得(x+5)2+(y-3)2=9答案：(x+5)2+(y-3)2=92.已知点M是圆x2+y2-4x=0上的一个动点，点N（2，6）为定点，当点M在圆上运动时，求线段MN的中点P的轨迹方程，并说明轨迹的图形.分析：先将圆x2+y2-4x=0化为
5、(x-2)2+y2=4利用圆的参数方程求解.解法一：将已知圆的方程化为：（x-2）2+y2=4,则其参数方程为故可设点M（2+2cosθ,2sinθ)又∵点N（2，6）.∴MN的中点P为∴点P的轨迹方程为：它表示圆心在（2，3），半径为1的圆.3.若实数x、y满足x2+y2-2x+4y=0，求x-y的最大值.分析一：将圆化为参数方程来解.解法一：将圆x2+y2-2x+4y=0变为(x-1)2+(y+2)2=5,∴圆的参数方程为代入x-y得x-y=（1+cosθ）-(-2+sinθ)=3+（cosθ-sin
6、θ)=3+cos(θ+)≤3+∴x-y的最大值为3+.分析二：令x-y=u代入圆方程来解.解析二：令u=x-y，则y=x-u代入圆方程得2x2+2(1-u)x+u2-4u=0由Δ=4(1-u)2-8(u2-4u)≥0即u2-6u-1≤0∴3-≤u≤3+即3-≤x-y≤3+∴x-y的最大值为3+.4.已知对于圆x2+(y-1)2=1上任意一点P（x,y)，不等式x+y+m≥0恒成立，求实数m的取值范围.分析：将圆的参数方程代入x+y+m≥0，转化为求m的最值问题来解.解：由x2+(y-1)2=1得其参数方程
7、为：代入x+y+m≥0得cosθ+1+sinθ+m≥0∴m≥-cosθ-sinθ-1∴m≥-sin(θ＋)-1恒成立，∴转化为求-sin(θ+)-1的最大值，∴-sin（θ+）-1的最大值为-1.∴m≥-1.5.已知圆x2+y2=1,定点A(1,0),B、C是圆上两个动点，保持A、B、C在圆上逆时针排列，且∠BOC=（O为坐标原点），求△ABC重心G的轨迹方程.分析：利用三角形重心坐标公式：来解.解：令B（cosθ,sinθ）,则C(cos(θ+),sin(θ+)),设重心坐标为G（x,y）则化为普通方程
8、得：(x-)2+y2=.1．直线被曲线所截得的弦长等于2．圆：的外有一点，由点向圆引切线的长______2．对于任意实数，直线与圆的位置关系是_________4．动圆的圆心的轨迹方程是 .５．为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为_______.三、解答题１．求过点向圆所引的切线方程。２．求直线被圆所截得的弦长。３．已知实数满足，求的取值范围。４．已知两圆，求（1）它们的公共弦所在直线的方程；（2）公共弦长。1.，2.
